以二元函数f(x,y)为例，偏导数fx的几何意义是沿着平行于x轴方向上的函数值的变化率，偏导数fy 是沿着平行于y轴方向上的函数值的变化率。(类比“控制变量法”）

以二元函数 f(x,y) = x2 - y2 为例，箭头的方向就是梯度的方向，箭头的大小代表梯度的模长。

若二元函数f(x,y)在点p处可微，则其在该点处的方向导数Du f§和梯度▽f§存在，且 Du f ( p) = ▽ f ( p) · u，即函数f 在点p处 沿方向向量u 的方向导数(也就是函数值的变化率)等于 该点的梯度向量 与方向向量u的点积

即，函数f在p点的函数值 沿 梯度的方向 增加的最快，沿梯度的负方向 函数值 减小的最快。 记住记住记住，梯度的方向就是函数值增加最快的方向！！！

1.知乎链接：https://www.zhihu.com/question/29151564 (石溪的回答) 2.csdn专栏链接：https://blog.csdn.net/weixin_43716250/category_10520703.html (专栏付费) 3.csdn：为什么梯度方向一定是函数增大的方向？ (清楚明晰) 4.csdn：机器学习–什么是梯度？为什么梯度方向就是函数上升最快的方向？本文将给你解惑(向量点积矩阵计算讲的很清楚，上升最快讲的个人感觉不够明晰) 5.csdn：为什么梯度是上升方向，梯度下降要取负 6.csdn：向量 点乘 叉乘求导总结