方向导数 |
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方向导数
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在多元微分学以及场论中，方向导数是作为偏导数几何概念的推广得到的，它是场论中梯度概念的基础。方向导数刻画的是一个多元函数沿着某个方向的变化率。在 Banach 空间的微分学中，方向导数或偏导数对应的数学概念是 Gateaux 导数。 目录 1 定义 2 公式 3 性质 4 上下节 定义[]以三元函数 u = f ( x , y , z ) {\displaystyle u = f(x, y, z)} 为例，设 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ D ( f ) {\displaystyle P_0 (x_0, y_0, z_0) \in D(f)} ，有向射线 P 0 P {\displaystyle \boldsymbol{P_0 P}} 的方向向量是 l = ( cos α , cos β , cos γ ) {\displaystyle \boldsymbol{l} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)} ，记向量 P 0 P {\displaystyle \boldsymbol{P_0 P}} 的长度为 Δ r {\displaystyle \Delta r} 。我们考虑函数值沿着射线 P 0 P {\displaystyle \boldsymbol{P_0 P}} 的变化率 Δ u = f ( P ) − f ( P 0 ) = f ( O P 0 + Δ r l ) − f ( O P 0 ) Δ u Δ r = f ( O P 0 + Δ r l ) − f ( O P 0 ) Δ r . {\displaystyle \begin{align} \Delta u & = f(P) - f(P_0) = f(\boldsymbol{OP_0} + \Delta r \boldsymbol{l}) - f(\boldsymbol{OP_0}) \\ \dfrac{\Delta u}{\Delta r} & = \dfrac{ f(\boldsymbol{OP_0} + \Delta r \boldsymbol{l}) - f(\boldsymbol{OP_0})}{\Delta r}. \end{align}} 令 P → P 0 {\displaystyle P \to P_0} 即 Δ r → 0 {\displaystyle \Delta r \to 0} ，如果极限 lim Δ r → 0 Δ u Δ r {\displaystyle \lim_{\Delta r \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta r}} 存在且为有限数，我们就称这个极限为函数 u = f ( x , y , z ) {\displaystyle u = f(x, y, z)} 在 P 0 {\displaystyle P_0} 点沿着 l {\displaystyle \boldsymbol{l}} 方向的方向导数，记作 ∂ f ∂ l | P 0 {\displaystyle \left. \dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} \right|_{P_0}} 或 ∂ f ( P 0 ) ∂ l {\displaystyle \dfrac{\partial f(P_0)}{\partial \boldsymbol{l}} } 。因此我们可知偏导数是特殊的方向导数，例如三元函数 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} 对 x {\displaystyle x} 的偏导数就是方向 ( 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle (1, 0, 0)} 的方向导数。 公式[]可以利用偏导数来求解方向导数，设三元函数 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} 在点 P ( x , y , z ) {\displaystyle P(x, y, z)} 存在对各变元的偏导数，那么在该点处沿着方向 l = ( cos α , cos β , cos γ ) {\displaystyle \boldsymbol{l} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)} 的方向导数计算公式为 ∂ f ∂ l = f x cos α + f y cos β + f z cos γ . {\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} = f_x \cos \alpha + f_y \cos \beta + f_z \cos \gamma.} 用梯度的概念来表示就是 ∂ f ∂ l = ∇ f ⋅ l . {\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} = \nabla f \cdot \boldsymbol{l}.} 即梯度与方向向量的内积。其中，算符 ∇ {\displaystyle \nabla } 表示梯度，它被定义为 ∇ = i ∂ ∂ x + j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z . {\displaystyle \nabla = \boldsymbol{i}\dfrac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\dfrac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\dfrac{\partial}{\partial z}.} i , j , k {\displaystyle \boldsymbol{i, j, k}} 分别是 x , y , z {\displaystyle x, y, z} 轴的单位向量。 性质[]方向导数算子 ∂ ∂ l {\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{l}}} 是线性算子，即有 设 a , b {\displaystyle a, b} 是常数，则有 ∂ ( a f + b g ) ∂ l = a ∂ f ∂ l + b ∂ g ∂ l . {\displaystyle \dfrac{\partial (af+bg)}{\partial \boldsymbol{l}} = a\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} + b\dfrac{\partial g}{\partial \boldsymbol{l}}.} 上下节[] 上一节：隐函数求导法 下一节：多元函数的 Taylor 公式 微分学（学科代码：1103410，GB/T 13745—2009） 极限论 数列 ▪ 数列极限 ▪ 上极限和下极限 ▪ 无穷小量以及无穷大量 ▪ 两面夹法则 ▪ Stolz 定理 ▪ Toeplitz 定理 ▪ Stirling 公式 ▪ 函数极限 ▪ 第二重要极限 ▪ 不定型极限与 L' Hospital 法则 ▪ Heine 定理 一元连续性 连续函数 ▪ 间断点 ▪ 一致连续 ▪ Cantor 一致连续性定理 ▪ Lipschitz 连续和 Hölder 连续 ▪ 基本初等函数 ▪ 幂平均 一元微分 导数 ▪ 基本初等函数的导数 ▪ 求导法则 ▪ 高阶导数 ▪ 莱布尼兹公式（高阶导数） ▪ 微分以及差分 ▪ Darboux 定理 ▪ 零点定理 中值定理微分的应用 Fermat 定理 ▪ Rolle 定理 ▪ Lagrange 中值定理 ▪ Cauchy 中值定理 ▪ Taylor 公式 ▪ 函数极值 ▪ 函数凸性 ▪ 渐近线 ▪ 曲线的曲率 多元极限多元微分 Euclid 空间点集 ▪ Euclid 空间中的基本定理 ▪ 多元函数 ▪ 多元函数的连续性 ▪ 偏导数 ▪ 全微分 ▪ 隐函数求导法 ▪ 方向导数 ▪ 多元 Taylor 展开 ▪ 多元函数的极值 ▪ 多元函数的条件极值与 Lagrange 乘数法 ▪ 隐函数 所在位置：数学（110）→ 数学分析（11034）→ 微分学（1103410） |
为例，设
P
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
∈
D
(
f
)
{\displaystyle P_0 (x_0, y_0, z_0) \in D(f)}
，有向射线
P
0
P
{\displaystyle \boldsymbol{P_0 P}}
的方向向量是
l
=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
{\displaystyle \boldsymbol{l} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)}
，记向量
P
0
P
{\displaystyle \boldsymbol{P_0 P}}
。我们考虑函数值沿着射线
P
0
P
{\displaystyle \boldsymbol{P_0 P}}
令
P
→
P
0
{\displaystyle P \to P_0}
即
Δ
r
→
0
{\displaystyle \Delta r \to 0}
，如果极限
lim
Δ
r
→
0
Δ
u
Δ
r
{\displaystyle \lim_{\Delta r \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta r}}
存在且为有限数，我们就称这个极限为函数
u
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle u = f(x, y, z)}
点沿着
l
{\displaystyle \boldsymbol{l}}
方向的方向导数，记作
∂
f
∂
l
|
P
0
{\displaystyle \left. \dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} \right|_{P_0}}
或
∂
f
(
P
0
)
∂
l
{\displaystyle \dfrac{\partial f(P_0)}{\partial \boldsymbol{l}} }
。
对
x
{\displaystyle x}
的偏导数就是方向
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle (1, 0, 0)}
的方向导数。
存在对各变元的偏导数，那么在该点处沿着方向
l
=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
{\displaystyle \boldsymbol{l} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)}
用梯度的概念来表示就是
∂
f
∂
l
=
∇
f
⋅
l
.
{\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} = \nabla f \cdot \boldsymbol{l}.}
即梯度与方向向量的内积。其中，算符
∇
{\displaystyle \nabla }
表示梯度，它被定义为
∇
=
i
∂
∂
x
+
j
∂
∂
y
+
k
∂
∂
z
.
{\displaystyle \nabla = \boldsymbol{i}\dfrac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\dfrac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\dfrac{\partial}{\partial z}.}
i
,
j
,
k
{\displaystyle \boldsymbol{i, j, k}}
分别是
x
,
y
,
z
{\displaystyle x, y, z}
轴的单位向量。
性质[]
是线性算子，即有
是常数，则有
∂
(
a
f
+
b
g
)
∂
l
=
a
∂
f
∂
l
+
b
∂
g
∂
l
.
{\displaystyle \dfrac{\partial (af+bg)}{\partial \boldsymbol{l}} = a\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} + b\dfrac{\partial g}{\partial \boldsymbol{l}}.}
上下节[]
上一节：隐函数求导法
下一节：多元函数的 Taylor 公式
微分学（学科代码：1103410，GB/T 13745—2009）
极限论
数列 ▪ 数列极限 ▪ 上极限和下极限 ▪ 无穷小量以及无穷大量 ▪ 两面夹法则 ▪ Stolz 定理 ▪ Toeplitz 定理 ▪ Stirling 公式 ▪ 函数极限 ▪ 第二重要极限 ▪ 不定型极限与 L' Hospital 法则 ▪ Heine 定理
一元连续性
连续函数 ▪ 间断点 ▪ 一致连续 ▪ Cantor 一致连续性定理 ▪ Lipschitz 连续和 Hölder 连续 ▪ 基本初等函数 ▪ 幂平均
一元微分
导数 ▪ 基本初等函数的导数 ▪ 求导法则 ▪ 高阶导数 ▪ 莱布尼兹公式（高阶导数） ▪ 微分以及差分 ▪ Darboux 定理 ▪ 零点定理
中值定理微分的应用
Fermat 定理 ▪ Rolle 定理 ▪ Lagrange 中值定理 ▪ Cauchy 中值定理 ▪ Taylor 公式 ▪ 函数极值 ▪ 函数凸性 ▪ 渐近线 ▪ 曲线的曲率
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