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负数的虚数根：例题1

复共轭：例题2

复数加法：例题3

复数减法：例题4

复数乘法：例题5

复数除法：例题6

我们需要化简一下。

我们假设，因为根号里面是，这是一个复平方根函数的主平方根，这个函数的定义域可以包含负数，这时会得到一个虚数或者复数。由于可以写成，所以原式就是：

 如果认为这是复平方根函数的主平方根，那么它可以写为：

这里我们需要搞清楚，这样做的前提是：两个数的乘积的主平方根是可以等价地写为各自主平方根相乘的形式。但是只有当这两个数中有一个是正数或者说只有一个是负数时，才能这样做。例如，下面这样就是不可以的：

我们不能说：。确实等于，但因为这两个数都是负的，所以不能说它等于，实际上，如果你们按这种推理继续下去会得到错误的答案。这样是不可以的，这里不能这样做。这里不能这样做是因为这条性质当两个数都是负数时是成立的。也就是说，两个数中只有一个是负数或者说两个都是正数时，才能这样。

那么如果是求复平方根函数的主平方根，那么就是。所以这一项可以简化为，再来看看该怎么化简，要化简它，可以通过质因数分解，找找看它是否包含完全平方。，，所以出现了一个也就是4，是一个完全平方数，那么就可以写成：简化为了，的另一个平方根是，不过是。所以原式就等于：

，那么总体可以化简成，这里需要交换一下顺序就等于：

我只是交换一下顺序，如果把放在数字的后面会更好看一些，但和是一样的。我想这是我们能得到的最简形式了。

请找出复数的共轭复数。

稍后的文章你会发现求一个复数的共轭复数出奇地简单。实际上就是一样的形式，更确切点说应该是两个互为共轭的复数实部相同，所以它的共轭复数和它实部相同而两者的虚部互为相反数，所以这个，就要变成。这就是复数的共轭复数了。

有时用记号表示就是在上面对复数，像这样在它上方加一横杠：

这就表示要求的共轭复数，它就等于：

有时候人们也喜欢写成，通常你会看到人们多用变量表示复数，如果有，那么的共轭复数表示成，在上方加一横杠，它就等于：

然后你可能会问，求共轭复数确实相当简单，但求它有什么用呢？最简单的原因，或者说它最基本的用途就是当你求任何虚数或者任何复数和它的共轭的乘积时都会得到一个实数，我还要强调的是这个复数是复数的共轭。而也是的共轭复数，这很显然，所以它们互为共轭复数。下面我再来演示一下两共轭复数相乘，怎么会得到实数，我们就求和相乘：

请记住，这样的表达式相乘，实际上就是把各表达式的每一项都相乘，可以运用两次乘法分配律，你也可以用foil法则（就是全部项两两相乘）来提醒自己用这个复数的每一部分乘以这个复数的每一个部分，我们就随便用一种方法吧：

其中，所以等于。

而中间两项消掉了，我们就值剩下

所以我们得到的就只有实数74。这个相乘有另外一种方法，你可以不用全部乘出来的，你也许看出来了，这个形式就是两个数（第一项的7和第二项的7）之和或者说两个数之差乘以这两个数之和的形式。也就是：

也就是两者的平方差。而这一题里面是7，，而在这题里是，就是就等于，又等于，然后减去这个就变成了正的25，再把这两个相加就得到74。

这一题我们要求复数加法加上复数：

正如我们所看到的 复数相加时，只能分别将实部和实部相加，虚部和虚部相加，我们先看实部：

然后虚数部分：

放在一起就是：

5 加 3非常简单，得到8。然后如果用一个数的2倍减去它的7倍，只是题目里这个数是虚数单位罢了，原来有，然后我减掉就剩下了：

所以这两个复数相加的结果就是。这又是一个复数，因为它有实部，也有虚部。

我想做的第一步是先把这些括号去掉，以便我们把实部和虚部分开，然后再把它们分别加起来，首先是，然后要减去这一整项，要去掉括号就相当于把负号乘进去括号里面，得到：

接下来就把实部相加，然后再把虚部相加：

结果就是。

做这类乘法，你可以使用，传统的乘法方式，就像做二项式乘法那样，你只需记住这里的不是一个变量而是一个虚数单位，就用表示，其实这题我们有两种算法可以使用两次分配律，我更喜欢这种方法，因为它是从基本定理引申出来的，没什么新知识，也可以使用FOIL法则计算（全部项两两相乘），这在刚学二项式乘法的时候用过，我们两种都试一下。

你可以把这部分就看成一个数字，我们把它分配给这部分中的两个数字，当我们把整个项作为一个乘数时，我们用乘以2，同时乘以，我们来写一下：

这里所做就是使用了分配率（基本定理引申出来的），我前面讲过，对于它就等价于，我把a分配给了b和c。这里我就是把分配给了2和，然后我们要再用一次，现在有2乘以，对它运用分配律：

记住，所以。最后实部和实部相加，虚部和虚部相加，得出最后结果：。所以，我们完成了两个复数的相乘运算。

在计算过程中我用了两次分配律，你也可以用FOIL法则来计算它，这种方法更快，但是有些死板或许会让你忘了当初为何要这么做，但是最终你得到的却是相同的结果。本质上说，你就是把第一个数字的每一项或者说第一个数的每一部分乘上第二个数字的每一部分，而FOIL法则就是我们刚才的做法，我在这里写出FOIL，虽然我并不是很喜欢这种方法，不过我还是要写出来，因为你们可能感兴趣想要学。

根据FOIL规则，我们先计算两个数中第一个数字的相乘， 将两式第一个数字做乘法也就是1乘以2，所以：

原式：

这就是FOIL法则中的F，然后外侧的数字相乘，这里是乘以：

这就是FOIL中的O。就代表外侧两个数，然后我们处理内侧两个数，：

这就是内侧两个数字，然后是两个式子中最后的两个数字，就是，所以这里写：

这就是最后的两数相乘，这就是所谓的FOIL法则。它确保了这个数字中的每个部分跟这个数字中的每个部分都进行了相乘，下面做了一下化简：

最后我们得到最后的结果：

特别地，复数相除，我们想得到一个复数结果，也就是要得到一个实数加上一个虚数，实数加n倍的i，一起想一下要怎么算，两数相除就等于我们可以写成是：

毫无疑问这两个相等，除以一个数就等于把除数当成有理分式的分母，就这儿，然后这个式子怎么化简呢？我们有对应的数学工具可以使得分母里不存在虚数或复数，这个工具就是共轭复数。

如果我们给这个表达式的分子和分母都乘上分母的共轭复数，我们就可以把分母变成实数，一起乘乘看，给分子分母都乘以分母的共轭复数也就是：

任何数除以它本身等于1（当然不包括0，0除以0没有定义），这里是比上。这不会改变原来表达式的值，但这样我们就可以消掉分母的虚数部分了。下面做相乘了，就是要把这个复数的每一项乘以后一个复数的每一项，你也可以用FOIL法则来算，实际上就是运用两次分配律：

分母是乘以的形式。你可以这样子考虑，或者可以像分子一样算，事实上我们还是像上面一样算吧，这样你不记得，平方差公式上面的也没关系：

实部与实部计算，虚部与虚部相加。

最后，我们还想把它写成。传统复数的形式，所以结果就等于：

这里实部，再加上虚数部分，最后一步如果不明白，就只要记住，它们就是相等的就行了，而实际上我们就相当于给这每一项乘以，分子这两项都要除以74，我们就把分配给它们，这是一种思路，只要我们就得到最后的结果，完完全全的实部加虚部的形式。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。