幂律分布背后的数学逻辑,了解一下? |
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帕累托收入分配定律 | 来源:https://www.google.com 最近对幂律的兴趣主要来自于对概率分布的研究:似乎有大量的分布遵循幂律的形式,至少它们右尾是符合的。这些大型事件的行为将这些数量与大偏差理论(theory of large deviations)的研究联系起来(也称为极值理论(extreme value theory)),它探究了诸如股市崩盘和大型自然灾害等极其罕见的事件的发生频率。在统计分布的研究中更倾向于称之为“幂律”。 在实际情况中,近似为幂律分布的情况通常包括一个偏差项,它可以表示观察到的值的不确定性(可能是测量或抽样误差),或者提供一种简单的方法使观察偏离幂律函数(可能是因为随机): 从数学角度来说,一个严格的幂律函数不可能是概率分布:,对于,指数(希腊字母alpha,注意不要与之前使用的指数符号混淆)大于1(否则尾部具有无限区域), ,最小值是必须存在的。否则,当x接近0时, 分布就具有无限面积, 常量因子C是一个标度因子, 以确保总面积为 1, 这是概率分布的基本要求。 更常见的是渐近幂律——只在极限情况下成立。指数通常在之间,不过这并不绝对。详细信息请参阅下面的幂律概率分布(power-law probability distributions )。 示例 从物理学(例如沙堆雪崩),生物学(例如物种灭绝和体重)以及社会科学(例如城市规模和收入)领域的研究中,目前已经探讨了超过一百种幂律分布。其中包括:气溶胶光学中的Angstrom指数、复杂介质中声衰减的频率依赖性、心理物理学中的Stevens幂律、斯蒂芬-玻耳兹曼定律(The Stefan–Boltzmann law)等等,下面就简单介绍三个应用最广泛的示例。 克莱伯定律(Kleiber's Law) 在1932年,生物学家克莱伯做了一组实验,他将各种哺乳动物拉到称上称体重作为横坐标,大到几顿重的大象,小到几十克的耗子,然后通过它们在单位时间内呼出的二氧化碳,分别测量出它们的新陈代谢率作为纵坐标。 得出的结果让他大吃一惊。当横纵坐标分别取对数之后,所有的动物都齐刷刷地站在了一条直线上,这条直线的斜率为3/4。生物的多样性令人叹为观止,可竟然出现了在数学上如此统一的规律。 这就是克莱伯定律(Kleiber's law):对于哺乳动物,其基础代谢率与体重的3/4次幂成正比即。 想了解更多关于克莱伯定律的知识,请看集智学园最美程序媛的作品: 克莱伯定律揭秘生命第四维 | 《规模》 想了解更多关于克莱伯定律的知识,请看集智学园最美程序媛的作品: 克莱伯定律揭秘生命第四维 | 《规模》 无标度网络模型 早期研究发现在很多网络中,少数节点占据了整个网络中的大部分连边,而多数节点的连边数量很少,节点连边数量的分布符合幂律。以巴拉巴西为代表的科学家们发现了大量满足幂律的网络结构,这种网络被称为无标度网络。人们越来越倾向于认为,幂律(Power Law)是无处不在规律,尤其在复杂网络中。 随机网络 Zipf定律:书籍中单词频率的分布 Zipf定律是由哈佛大学的语言学家乔治·金斯利·齐夫(George Kingsley Zipf)于1949年发表的实验定律。它可以表述为:在自然语言的语料库里,一个单词出现的频率与它在频率表里的排名成反比。 所以,频率最高的单词出现的频率大约是出现频率第二位的单词的2倍,而出现频率第二位的单词则是出现频率第四位的单词的2倍。这个定律被视作任何与幂定律概率分布有关机制的参考。 横纵坐标均为对数比例下,齐夫定律的概率质量函数的图像,其中N = 10。横坐标是指数k 。(注意,函数仅在k为整数时有定义,图上的连线不代表函数连续。) 其他形式(Variants) 分段幂律(Broken Power law) 初始质量函数的一些模型遵循分段幂律; Kroupa(2001)红色 分段幂律是一个分段函数,由两个或多个的幂律函数组成,再加上一个阈值。例如,有两个幂律: 具有指数截止的幂律分布(Power law with exponential cutoff) 具有指数截止的幂律就是幂律乘以一个指数函数: 曲线幂律(Curved power law) 来源:集智百科 地址: http://wiki.swarma.net/index.php?title=%E5%B9%82%E5%BE%8B%E5%88%86%E5%B8%83&variant=zh-hans 编辑:孟婕 来源:集智百科 地址: http://wiki.swarma.net/index.php?title=%E5%B9%82%E5%BE%8B%E5%88%86%E5%B8%83&variant=zh-hans 编辑:孟婕 推荐课程 商务合作及投稿转载|[email protected] ◆ ◆ ◆返回搜狐,查看更多 |
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