习题课函数与极限

习题课 函数与极限

极限1.极限定义2.极限运算法则3.无穷小常用等价无穷小：x→01- cos x ~ ix2sinx~xtanx~xIn(1+x)~xarctanx~xarcsin x ~ xer-1~xa-1~xlna(1+x)"-1~μux4.极限存在准则及两个重要极限sinx(1+=lim7/lim=1Xx-0xr85.连续

极限 1. 极限定义 2. 极限运算法则 3. 无穷小 常用等价无穷小: 𝑥 → 0 sin x ~ x 1− cos x ~ 2 2 1 x arcsin x ~ x e −1~ x x (1+ ) −1~  x x 4.极限存在准则及两个重要极限 lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 = 1 lim 𝑥→∞ 1 + 1 𝑥 𝑥 = 𝑒 5.连续

a'+b"+ct!例1.求lim(a>0, b>0, c>0)3解：原式=lim(1+g+b*+c*-3)3a"+b*+c*-313=lim(l+a'+b*+c*-3a+b+c-33Y3x-0m(d-)+(6*-1)+(c-1)a+b'+c-31α-1~xlnalim3xer-03二XX0e二Ina+Inb+Inclim-3=er->0InabcInabc3=e?=abc

例1. 求 1 0 lim( ) ( 0, 0, 0) 3 x x x x x abc a b c → + +    解：原式= 1 0 3 lim(1+ ) 3 x x x x x abc → + + − 3 1 3 0 3 3 3 lim(1 ) 3 x x x x x x a b x x x a b c x c x abc + + − + + − → + + − = +0 3 1 lim 3 x x x x a b c x e → + + − = 0 ( 1) ( 1) ( 1) lim 3 x x x x a b c x e → − + − + − = 0 ln ln ln lim x 3 a b c e → + + = ln 3 abc = e 3 = abc 1 ln x a x a − 3 ln abc = e

例2，当x→0时，etanx-esin*是xk的高阶无穷小，确定k的范围解：sinxetanxetanx-sinx _1Plimesinxlim中中仁X-0X-→0tanx-sinxtanx(l-cosx)etanx-sinx=limlim=lim二中X→0X-0x-→0YXx2=limlim=0中个12x-→0X->0k0又x是无穷小

例2 . 当 x → 0 时， 是 的高阶无穷小，确定 的范围. tan sin x x e e − k x k 解： tan sin 0 lim x x k x e e → x− tan sin sin 0 1 lim x x x k x e e x − → − = tan sin 0 1 lim x x k x e x − → − = 0 tan sin lim k x x x → x− = 0 tan (1 cos ) lim k x x x → x− = 2 0 1 2 lim k x x x → x  = 3 0 1 lim 2 k x x → x = = 0   k 3 k 又 x 是无穷小   k 0    0 3 k

12+ersinxlim例3.计算X4X-→0x1+ex解：当X→0时11C+er2+er2e-sinxsinxsinxtelim[=lim[=lim|十444X-0X->0X-→0+x中x1+ex1+exX（+）esinx=lim三x→0+x2+ex2+ersinxsinxlim=lim=2-1=1当x→0时44/xX->0X-0x1+er1+er所以，原极限为1

例3. 计算 1 4 0 2 sin lim[ ] | | 1 x x x e x x e → + + + 解： 1 4 0 2 sin lim[ ] | | 1 x x x e x x e → + + + + 当 时 + x → 0 1 4 0 2 sin = lim[ ] 1 x x x e x x e → + + + + 4 3 4 0 2 sin = lim[ ] 1 x x x x e e x x e + − − → − + + + 0 sin = lim x x x → + =1 当 x 0 时 → − 1 4 0 2 sin lim[ ] | | 1 x x x e x x e → − + + + 1 4 0 2 sin = lim[ ] 1 x x x e x x e → − + − + = − = 2 1 1 所以，原极限为1