《高等数学》课程教学大纲

课程名称：高等数学                  课程类别：专业必修课

适用专业：物理学                    考核方式：考试           

总学时、学分：192学时  12  学分   其中实验学时：    0  学时

一、课程性质、教学目标

高等数学是物理学专业的一门基础课，它包括三部分内容:微积分、线性代数和概率论。通过微积分的教学，使学生系统地获得微积分(包括向量代数及空间解析几何)的基本知识、必要的基础理论和常用的计算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力﹑抽象思维能力﹑逻辑推理能力﹑几何直观和空间想象能力；通过线性代数的教学，使学生系统的掌握线性代数的基本概念、基本原理与基本计算方法，培养学生分析问题、解决问题的能力以及运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力；通过概率论的教学，使学生掌握概率统计的基本概念，基本理论和方法，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，会用随机思想认识事物，分析事物，研究事物，并培养学生运用统计方法分析、解决和处理实际问题的基本能力，从而对现实世界中蕴涵的一些随机数学模式进行思考和作出判断。通过高等数学的教学，为学生学习后续课程，从事科学研究以及开拓新技术领域，打下坚实的基础。

课程教学目标如下:

课程教学目标1：了解高等数学课程的地位、性质与作用，系统掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。

课程教学目标2：会利用矩阵等工具处理一些理论问题，解决一些实际问题；建立必要的概率统计基本知识素养，掌握处理随机现象统计规律的思想和方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。

课程教学目标3：为后续课程的学习和学生的进一步深造，打下坚实的基础。

课程教学目标4：引导学生学会自学，养成良好的自学习惯和能力，培养学生的自学能力。

课程教学目标5：通过重大科学发现过程的讲授和科学家生平事迹的介绍，培养学生树立辩证唯物主义世界观。通过探究式教学，锻炼学生的科学探究和创新能力

课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系

教学目标

毕业要求

1

2

3

4

5

6

7

8

9

教学目标1

L

L

L

M

教学目标2

L

L

M

教学目标3

L

L

L

L

H

教学目标4

L

L

M

M

H

H

教学目标5

L

L

L

M

L

L

H

L

注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求

的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。

二、课程教学要求

1.通过本课程学习，使学生能比较熟练地掌握高等数学的基本概念与性质。

2.熟练掌握高等数学中涉及到的计算及证明问题。

3.掌握高等数学的基本思想与方法。

4.了解高等数学在其它领域中的广泛应用。

执行本大纲应注意的问题：

1.高等数学是一门推理性非常强的学科，学生在学习过程中应特别注重这一点。

2.高等数学比起初等数学要抽象的多，学生在初次学习过程中有很多认识和思维上混乱，在教学过程中一定要注意。

3.高等数学是一门计算方法特别灵活的学科，一定要让学生理解各个计算方法的特点和适应范围，通过做题真正掌握计算方法。

三、先修课程

    初等数学

四、课程教学重点

微积分部分的重点；极限的概念与求法；导数的概念及求法；微分中值定理及其应用；泰勒公式及其应用；函数的单调性与函数极值的求法；不定积分与定积分的求法；微元法的应用；多元函数的微分法，二重积分；曲线与曲面积分；幂级数求和与函数展开成幂级数；二阶常系数非齐次微分方程 。     

线性代数部分的重点：矩阵的运算、求逆矩阵的方法；行列式的性质及其运算；线性方程组有解的判别定理；向量组的线性相关性、极大线性无关组、线性方程组解的结构；矩阵的特征值，特征向量的求法；化二次型为标准形。

概率论部分的重点：概率的概念；概率的加法公式、条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；随机变量的概念及其分布；边缘分布及相互独立；随机变量的函数的分布；随机变量的数字特征；

五、课程教学的难点

微积分部分的难点：极限理论；不定积分；二重积分和三重积分的积分限的确定；曲线与曲面积分；幂级数求和。

线性代数部分的难点：矩阵的乘法运算、逆矩阵的求法；n阶行列式计算；向量间的线性关系；利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵；用正交变换法化二次型为标准形。

概率论部分的难点：全概率公式、贝叶斯公式；随机变量的概念；二维随机变量与一维随机变量分布函数之间的关系及相互转化；随机变量的函数的分布。

六、课程教学方法与教学手段

本课程的教学采用多媒体辅助教学和课堂板书相结合，多媒体与课堂板书相辅相成。通过作业训练使学生真正掌握高等数学的内容，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力。

七、课程教学内容

第一部分  微积分

第一章  函数与极限（18学时）

1．教学内容：

函数的概念，函数的特性，复合函数和反函数，初等函数及双曲函数；数列极限的概念及性质，函数极限，函数极限的性质与运算，函数极限与数列极限的关系，极限存在准则 两个重要极限，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质及比较；函数的连续性与间断点，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

2．重点、难点：

(1) 重点是复合函数，数列极限的概念及性质，函数极限的概念与性质，函数极限与数列极限的关系，极限存在准则、 两个重要极限和闭区间上连续函数的性质。

(2) 难点是数列极限与函数极限的概念。

第二章  微分学（16学时）

1. 教学内容：

导数概念，函数和、差、积、商的求导法则，反函数的导数，复合函数的求导法则，初等函数的求导问题，双曲函数与反双曲函数的导数，高阶导数，隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率，微分在近视计算中的应用；微分中值定理， 洛必达法则，泰勒公式；函数的单调性与曲线的凹凸性，函数的极值与最值，函数图象的描绘，曲率

2.重点、难点：

（1） 重点是导数的定义、函数的求导法则及函数的微分；微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与凹凸性、函数的极值与最值；

（2） 难点是复合函数的求导法则，反函数及参数方程求高阶导数；微分中值定理及其应用、泰勒定理及其应用、函数图形的描绘。

第三章  不定积分（14学时）

1．教学内容：

不定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分。

2．重点、难点：

(1) 重点是不定积分的概念与性质，不定积分的换元法与分部积分法，有理函数的积分；

(2) 难点是利用第二换元积分法求不定积分。

第四章  定积分（16学时）

1．教学内容：

定积分概念与性质，微积分基本公式，定积分的换元法与分部积分法；定积分的微元法，定积分在几何学上的应用，定积分在物理学上的应用。

2．重点、难点：

(1) 重点是定积分的概念与性质，微积分基本公式，定积分的换元积分与分部积分法；定积分微元法的思想，定积分在几何与物理学方面的应用；

(2)难点是利用换元积分法求定积分。掌握微元法的思想及微元法在物理学方面的应用。

第五章  空间解析几何与向量代数（8学时）

1．教学内容：

向量及其运算、数量积、向量积、 混合积；空间直线及其方程，平面及其方程，常见的二次曲面。

2．重点、难点：

(1) 重点是向量的数量积、向量积与混合积；空间直线及其方程；平面及其方程；

(2) 难点是曲面及其方程，空间直线方程的求法。

第六章  多元函数微分学（12学时）

1．教学内容：

多元函数的基本概念，偏导数，全微分，复合函数的求导法则，隐函数的求导公式；方向导数与梯度；二元函数的泰勒展式，二元函数的极值及其求法，。

2．重点、难点：

(1) 重点是多元函数的偏导数，全微分，复合函数的求导法则，隐函数的求导公式，二元函数的极值及其求法；

(2) 难点是复合函数的高阶导数求法，隐函数的求导公式的推导，二元函数极值的求法。

第七章  重积分（10学时）

1．教学内容：

二重积分的概念与性质，二重积分的计算法；三重积分，重积分的应用。

2．重点、难点：

(1) 重点是二重积分的概念与性质，二重积分的计算，三重积分的计算，重积分的应用；

(2) 难点是在极坐标系下计算二重积分，三重积分的计算。

第八章  曲线积分  曲面积分 矢量分析初步（10学时）

1．教学内容：

第一型曲线积分，第二型曲线积分，格林公式及其应用；第一型曲面积分，第二型曲面积分，高斯公式 与散度，斯托克斯公式， 环流量与旋度。

2．重点、难点：

(1) 重点是第一型曲线积分，第二型曲线积分，格林公式及其应用，第一型曲面积分，第二型曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式；

(2) 难点是第二型曲线与曲面积分，格林公式，高斯公式。

第九章  无穷级数（12学时）

1．教学内容：

数项级数的概念和性质，数项级数的收敛法；幂级数，函数展开成幂级数，函数的幂级数展开式的应用；傅里叶级数，一般周期函数的傅里叶级数。

2．重点、难点：

(1) 重点是数项级数的收敛法，幂级数，函数展开成幂级数及其应用，傅里叶级数。

 (2) 难点是数项级数的收敛法，幂级数求和，函数展开成幂级数，函数展开成傅里叶级数。

第十章  反常积分和含参变量积分（4学时）

1．教学内容：

     无穷积分和瑕积分。

2．重点、难点：

   (1) 重点是无穷积分和瑕积分的收敛

   (2) 难点是无穷积分和瑕积分的收敛

第十一章  微分方程初步（8学时）

1．教学内容：

微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程；特殊二阶微分方程，二阶线性微分方程，常系数齐次线性微分方程。

2．重点、难点：

(1) 重点是一阶线性微分方程，全微分方程，二阶线性微分方程。

(2) 难点是特殊二阶微分方程，常系数非齐次线性微分方程中特解的求法。

第二部分 线性代数

第一章  行列式（4学时）

1．教学内容：

   n阶行列式的定义，二、三阶行列式；行列式的主要性质；行列式按行（列）展开，拉普拉斯定理。

2．重点、难点：

(1) 重点是行列式的计算

(2) 难点是拉普拉斯定理

第二章  矩阵代数（6学时）

1．教学内容：

矩阵的概念；矩阵的代数运算；可逆矩阵与矩阵的初等变换；转置矩阵与一些重要方阵；分块矩阵。

2．重点、难点

(1) 重点是可逆矩阵及其逆矩阵求法

(1) 难点是可逆矩阵及逆矩阵求法

第三章  线性方程组（6学时）

1．教学内容：

向量组与矩阵的秩；线性方程组的解法；线性方程组解的结构。

2．重点、难点：

(1)重点是矩阵的秩和线性方程组解的结构。

(2难点是矩阵的秩。

第四章  线性空间（4学时）

1．教学内容：

线性空间的概念； n维线性空间的定义、基变换与坐标变换。

2．重点、难点：

(1) 重点是基变换与坐标变换

(2)难点是基变换

第五章  线性变换（4学时）

1．教学内容

   线性变换的定义、n维线性空间 V中线性变换的矩阵；矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化。

2. 重点、难点：

 (1)重点是矩阵的特征值与特征向量的求法

(2)难点是矩阵的对角化

第六章  欧几里得空间（4学时）

1．教学内容

欧几里得空间；正交变换。

2.  重点、难点：

(1) 重点是正交变换

(2)难点是正交变换

第七章  二次型（4学时）

1．教学内容

n元 实二次型及其标准形；正定二次型；用正交变换化二次型为标准形的方法

2．重点、难点

(1)重点是Schmidt正交化方法、化二次型为标准形的方法

(2)难点是化二次型为标准形的方法

第三部分  概率论

第八章 随机事件及概率（8学时）

1．教学内容：

随机试验、样本空间、事件的关系与运算；概率的定义及其性质、古典概型、几何概型；条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；随机事件的独立性。

2．重点、难点

（1）重点是概率的定义及其基本性质、古典概型、几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、独立性事件；

（2）难点是概率的公理化定义、概率模型的建立、全概率公式、贝叶斯公式。

第九章 随机变量及其分布（8学时）

1．教学内容：

随机变量的定义、离散型随机变量的概率分布；连续随机变量的概率分布；正态分布。随机变量的函数的分布。

2. 重点、难点：

（1）重点是随机变量的概念、离散型和连续型随机变量及其分布、随机变量的分布函数、随机变量的函数的分布。

（2）难点是随机变量的概念、随机变量的分布函数、随机变量的函数分布。

第十章 多维随机向量及其分布（8学时）

1．教学内容：

多维随机向量的定义；二维随机向量的概率分布；二维随机向量的分布函数；边缘分布；条件分布；相互独立的随机变量；二维随机向量函数的分布。

2. 重点、难点：

（1）重点是二维连续型随机向量的分布函数与概率密度的概念及其求法、边缘分布的概念及求法、二维随机向量函数的分布。

（2）难点是二维随机向量函数的分布。

第十一章 随机变量的数字特征（8学时）

1．教学内容：

数学期望；方差；协方差及相关系数、矩、协方差矩阵。

2. 重点、难点：

（1）重点是随机变量的数字期望和方差的概念及其性质、随机变量矩、协方差和相关系数的概念。

（2）难点是随机变量的各种数字特征的概念及求法。

八、学时分配

章目

教学内容

教学环节

理论教学学时

实验教学学时

一

函数与极限

18

0

二

微分学

16

0

三

不定积分

14

0

四

定积分

16

0

五

空间解析几何和矢量代数

8

0

六

多元函数微分法及其应用

12

0

七

重积分

10

0

八

曲线积分与曲面积分

10

0

九

无穷级数

12

0

十

反常积分和含参变量积分

4

0

十一

微分方程初步

8

0

一

行列式

4

0

二

矩阵代数

6

0

三

线性方程组

6

0

四

线性空间

4

0

五

线性变换

4

0

六

欧几里得空间

4

0

七

n元实二次型

4

0

八

随机事件及概率

8

0

九

随机变量及其分布

8

0

十

多维随机向量及其分布

8

0

十一

随机变量的数字特征

8

0

总计

192

九、课程考核方式

1.考核方式：

笔试; 闭卷

2.成绩构成：

期末考试成绩+平时成绩

十、选用教材和参考书目：

［1］《高等数学》（第四版）第一册、第二册、第三册。四川大学数学学院高等数学教研室编，高等教育出版社，2013年；

［2］《高等数学》上、下册（第二版）童裕孙编，高等教育出版社，2005年；

［3］《线性代数》，蔡光兴编，北京：科学出版社，2002年；

［4］《数学分析》第 3 版，华东师范大学数学系编，高等教育出版社出版；2012年

［5］《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版1992年；

［6］《概率论与数理统计（理工类）》第四版）吴赣昌，中国人民大学出版社，2011年。