反函数二阶导数公式

反

函

数

的

一

阶

导

数

是

原

函

数

导

数

的

倒

数

，

即

(f^(-1)(x))'=1/f'(y)

。而求反函数的二阶导数则有两种方法。

第一种方法是先求出反函数的一阶导数，然后再继续求导，

得到反函数的二阶导数。第二种方法则直接由反函数的一阶

导数公式，推出反函数的二阶导数公式。

第一种方法只能根据具体的问题，具体解决。第二种方

法则需要一个推导过程：

反

函

数

的

二

阶

导

数

，

就

是

一

阶

导

数

的

导

数

，

即

(f^(-1)(x))"=(1/f'(y))'

。

这是一个复合函数的求导问题。这

个复合函数有三层函数，最外层的函数是反比例函数，记为

1/u

，第二层函数是原函数

f(y)

，最内层是函数的反函数

y=f^(-1)(x)

。

根据复合函数求导的链状法则，有

(f^(-1)(x))"=d(1/u)/du 

·

du/dy

·

dy/dx. 

而

d(1/u)/du= 

-1/u^2,du/dy=1/f'(y),

所以

(f^(-1)(x))"=-f"(y)/(f'(y))^3, 

这就是反函数的二阶导数公式了。

下面要用这两种方法，分别求

arcsinx

的二阶导数，以

检验反函数的二阶导数公式的正确性。

首先，

arcsinx

是

f(y)=siny

的反函数，

y=arcsinx, 

x=siny.