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如果函数
x
=
f
(
y
)
x = f(y)
x=f(y)在区间
I
y
I_y
Iy内单调、可导且
f
′
(
y
)
≠
0
f'(y) \neq 0
f′(y)̸=0，那么它的反函数
y
=
f
−
1
(
x
)
y = f^{-1}(x)
y=f−1(x)在区间
I
x
=
{
x
∣
x
=
f
(
y
)
，
y
∈
I
y
}
I_x = \{x | x = f(y)，y \in I_y\}
Ix={x∣x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且
[
f
−
1
(
x
)
]
′
=
1
f
′
(
y
)
或
d
y
d
x
=
1
d
x
d
y
[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)} 或 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}
[f−1(x)]′=f′(y)1或dxdy=dydx1 这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例： 设
x
=
sin
y
，
y
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
x = \sin y，y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
x=siny，y∈(−2π,2π)为直接导数，则
y
=
arcsin
x
y = \arcsin x
y=arcsinx是它的反函数，求反函数的导数. 解：函数
x
=
sin
y
x = \sin y
x=siny在区间内单调可导，
f
′
(
y
)
=
cos
y
≠
0
f'(y) = \cos y \neq 0
f′(y)=cosy̸=0 因此，由公式得
(
arcsin
x
)
′
=
1
(
sin
y
)
′
(\arcsin x)' = \frac{1}{(\sin y)'}
(arcsinx)′=(siny)′1
=
1
cos
y
=
1
1
−
sin
2
y
=
1
1
−
x
2
= \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}}
=cosy1=1−sin2y
1=1−x2
1
如果在求解过程中遇到不好直接求出的三角函数，可以使用画三角形法求解
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