[高等数学]（一元）参数函数、复合函数、反函数二阶导数中的自变量误区 |
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最近在学习高等数学，看到“一元函数微分学”中“基本求导法则与公式”小节中关于“参数式所确定的函数的导数公式”部分有一点疑惑，追寻过程中居然发现了一个很大的误区，因此将我思考过程记录下来，若有相同疑惑的同学可以看看是否能够帮到你。 我的疑惑来源是参数函数的二阶导数值，根据书本上的描述，参数函数的一阶导（函）数为以下值 图1.参数函数一阶导数求导过程及结果值参数方程是形如 图2.参数函数形式的方程组，我们无法直接将y对x求导，因为y与x无直接关联，因此只能用x的反函数t(x)来与y进行复合，因此上文中的 图3.参数函数转换为复合函数求值 这一步也正是使用了复合函数求导的公式。如果说一阶函数大家理解起来毫无悬念，那么接下来的二阶函数则会瞬间让人崩溃。我们先看看书上的二阶函数求出来结果 图4.参数函数二阶导数求导结果 是不是很意外，因为如果我们直接对一阶导数进行再次求导，按照求导法则中除法公式，结果如下 图5.预想中的参数函数二阶求导结果 说实话，我刚开始根本看不懂书上的推导公式，网络视频课程中老师也是，突然在计算过程中就多乘了一个t'x（最终变成除以x't），所以我尝试用另外一种思路来理解。就是复合函数加反函数的方式来理解。 因为我们知道，y=f(x)实际是不存在的，或者说不直接存在，它本质上是一个复合函数，这一点在上文求一阶导数时我们已经阐明。那么我们何不将y''x的求取用复合函数的公式来套呢？ 我们可能会想当然地又如下写： 图6.预想中的参数函数通过复合函数及反函数方式求二阶导数 然后你会发现，还是错的！但是错在哪儿呢？ 随后我在网上搜索时发现，复合函数的二阶导数也不能直接对其一阶导数进行简单的乘法运算。假如有一个复合函数，y=f(u)，u=f(x)，其一阶导数是y'x=f'(u)·u'(x)，但网上的问答会告诉你，y''x并不直接等于f''(u)u'(x)+u''(x)f'(u)，即不等于（f'(u)·u'(x)）'。而是等于f''(u)u'(x)u'(x)+u''(x)f'(u)。同学们马上就能看出，如果把这个式子套进去，至少就对了一半（最终式子左半部分分子就可以约分为三次方）。 我们先搁置为什么要多乘一个u'(x)不管，而纠结另一个问题，就是为什么式子右半部分还是不对。 我们假设右半部分不对，那么问题出在哪儿？就一定是t''x与(1/x't)'是不相等的！既然不相等，我们就要找出他们之间的真实关系，好将右边式子也变得正确。然后我从网上找到一个式子： 图7.反函数二阶导数推导过程 我们再次搁置一个疑问，就是上图中我画红色横线部分。如果把这个式子代入到我们复合函数的推导公式中，就可以得出正确结果了 图8.使用复合函数及反函数推导参数函数二阶导数的过程 现在虽然我们算对了，但我们还搁置了几个疑问，我们必须得将它们搞清楚。 首先我们看我们算错的几个地方，图5和图6，我们会发现一个问题（这也是我特意没标识出的），就是我们所求导函数的自变量（式子中导函数的右下角下标）是不对的！我们没写时其默认是对目标自变量x求导，但实际上我们运算过程并非如此，而是在对中间变量t(x)函数求导！包括图7中的红线处，我们不细注意，都会出错。 所以啰嗦了这么多，其实就一句话：在求导（主要是二阶求导）过程中，要时刻关注你所求的导函数他的自变量是什么，在复合函数和反函数中，它并非是目标函数x，而是中间函数（或反函数）u；而参数函数本质是复合函数，所以也受到约束。当我们发现所求的导函数其自变量不是目标x而是中间函数时，很简单就能将结果变正确，就是使用复合函数的求导方式，再对其乘上u'x即可。所以我们会发现文章开头的参数函数的二阶导数的正确结果与错误结果就相差一个t'x(即除以x't)。 再说通俗一点：当你把一个式子加上括号，右上角打上求导符号时，记得想一想右下角该写什么！ |
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