我们在ML week 1课程中了解到了单变量线性回归，这里使用了梯度下降法来不断更新 θ 0 , θ 1 \theta_{0,} \theta_{1} θ0,​θ1​以求得Cost Function的最优解，从而确定 h θ ( x i ) h_{\theta}\left(x_{i}\right) hθ​(xi​)。    那这里就产生了一个疑问：为什么使用梯度下降法求解？为什么使用梯度下降法，就能够得到最优解(全局或者局部)？    下边我们将从导数，偏导数，方向导数最后引出梯度，进而讲解为什么梯度下降法能够做到求解最优解。

增量定义：若 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_{0} x0​的某个邻域内有定义，则当自变量 x x x 在 x 0 x_{0} x0​处取得增量 Δ x \Delta x Δx（点 x 0 + Δ x x_{0}+\Delta x x0​+Δx仍然在邻域内），相应的 y y y取得增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right) Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)，如果 Δ y \Delta y Δy与 Δ x \Delta x Δx在 Δ x → 0 \Delta x \rightarrow 0 Δx→0时极限存在，则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在 x 0 x_{0} x0​处可导，这个极限就是 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在 x 0 x_{0} x0​的导数，记为 f ′ ( x 0 ) f^{\prime}\left(x_{0}\right) f′(x0​)。 f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} f′(x0​)=limΔx→0​ΔxΔy​=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

极限定义：在定义域内，当变量 x x x趋近于 x 0 x_{0} x0​时， f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} x−x0​f(x)−f(x0​)​有极限，则有 f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} f′(x0​)=limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​

   对于一元函数而言，导数的几何意义是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_{0} x0​切线的斜率。物理角度上来看，路程对时间的导数叫速度，速度对时间的导数叫加速度。    我们可以理解为这是一种线性近似，当一个函数为曲线时，我们对某一点的斜率，就是通过导数这种线性近似求得的。    但是对于多元函数而言，由于其几何图形为一个曲面，这时候导数作为切线斜率的解释似乎不成立了，因此引入了偏导数的概念。

   对于多元函数，求导数其实也是要求一个切线的斜率，但是由于曲面上的点的切线有无数条，那么取那条切线的斜率呢，这时候就引入了偏导数的概念。    偏导数其实就是选取比较特殊的切线，求其斜率而得，以二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)为例，分为对 x x x的偏导数和对 y y y的偏导数。 如图所示： 对 x x x的偏导数：过点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) \left(x_{0}, y_{0},z_{0}\right) (x0​,y0​,z0​)垂直于 y y y轴的曲线，在该点切线的斜率。 此时，该曲线可表示为    z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)    x = t x=t x=t    y = a + 0 × t y=a+0 \times t y=a+0×t 因此，我们求对 x x x的偏导数，认为 y y y是常量是完全正确的。 用导数定义来表示 x x x的偏导数，    f x ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x} fx​(x0​,y0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​ 对 y y y的偏导数：过点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) \left(x_{0}, y_{0},z_{0}\right) (x0​,y0​,z0​)垂直于 x x x轴的曲线，在该点切线的斜率。 同上理解。    f y ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y} fy​(x0​,y0​)=limΔy→0​Δyf(x0​,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)​

   偏导数几何意义也是切线斜率， 但是由于曲面上一点的切线有无数条(实际上是个切面)，偏导数选取的是垂直于各坐标轴的几条特殊切线的斜率。    偏导数物理意义表示函数沿着某个坐标轴方向上的变化率。    但是如果我们想求任意一条曲线切线斜率怎么办呢?这时候就引入了方向导数，可以求出曲面上某一点沿着任意方向的切线斜率。

   以 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)为例，过曲面上任意一点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) \left(x_{0}, y_{0},z_{0}\right) (x0​,y0​,z0​)的所有切线，组成一个切面。偏导数仅仅选择了垂直于 x x x和 y y y轴方向的两条切线，计算斜率，方向导数则要求任意切向的斜率。 如下图所示

x x x和 y y y平面上的一个方向向量，决定了一条过点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) \left(x_{0}, y_{0},z_{0}\right) (x0​,y0​,z0​)的唯一曲线，此时曲线函数可表示为：    z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)    x = x 0 + t cos ⁡ α t ≥ 0 x=x_{0}+t \cos \alpha \quad t \geq 0 x=x0​+tcosαt≥0    y = y 0 + t cos ⁡ β t ≥ 0 y=y_{0}+t \cos \beta \quad t \geq 0 y=y0​+tcosβt≥0    u = i ⃗ cos ⁡ α + j ⃗ cos ⁡ β = i ⃗ cos ⁡ α + j ⃗ sin ⁡ α u=\vec{i} \cos \alpha+\vec{j} \cos \beta=\vec{i} \cos \alpha+\vec{j} \sin \alpha u=i cosα+j ​cosβ=i cosα+j ​sinα    其中 α \alpha α和 β \beta β分别为该方向向量与 x x x轴和 y y y轴的夹角。 则该曲线的记为方向u的导数，定义：    D u f ( x , y ) D_{u} f(x, y) Du​f(x,y)= lim ⁡ t → 0 f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t sin ⁡ α ) − f ( x 0 , y 0 ) t \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \sin \alpha\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t} limt→0​tf(x0​+tcosα,y0​+tsinα)−f(x0​,y0​)​ 通过偏微分简化计算可得（这一步的数学证明，请自行搜索），    D u f ( x , y ) = f x ( x , y ) cos ⁡ α + f y ( x , y ) sin ⁡ α D_{u} f(x, y)=f_{x}(x, y) \cos \alpha+f_{y}(x, y) \sin \alpha Du​f(x,y)=fx​(x,y)cosα+fy​(x,y)sinα

设偏导向量：    A ⃗ = ( f x ( x , y ) , f y ( x , y ) ) \vec{A}=\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right) A =(fx​(x,y),fy​(x,y)) 方向向量：    u ⃗ = ( cos ⁡ α , sin ⁡ α ) \vec{u}=(\cos \alpha, \sin \alpha) u =(cosα,sinα) 则    D u f ( x , y ) = A ⃗ ∗ u ⃗ D_{u} f(x, y)=\vec{A} * \vec{u} Du​f(x,y)=A ∗u = ∣ A ⃗ ∣ ∗ ∣ u ⃗ ∣ ∗ cos ⁡ ( θ ) |\vec{A}| *|\vec{u}| * \cos (\theta) ∣A ∣∗∣u ∣∗cos(θ)    其中 θ \theta θ 是偏导向量和方向向量之间的夹角。显而易见，当 θ \theta θ=0时， D u f ( x , y ) D_{u} f(x, y) Du​f(x,y)取得最大值。    换句话说，当方向 u ⃗ \vec{u} u 和偏导向量同向时，方向导数取得正最大值，反向时，取得负最大值。    记住这个结论，接下来我们看梯度定义。

   对于函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)，在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ( x 0 , y 0 ) ∈ D \left(x_{0}, y_{0}\right) \in D (x0​,y0​)∈D都可以定义出一个向量：

   f x ( x 0 , y 0 ) i ⃗ + f y ( x 0 , y 0 ) j ⃗ f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \vec{i}+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \vec{j} fx​(x0​,y0​)i +fy​(x0​,y0​)j ​

   这个向量称为函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0​,y0​)的梯度，记作 grad ⁡ f ( x 0 , y 0 ) \operatorname{grad} f\left(x_{0}, y_{0}\right) gradf(x0​,y0​)或者 ∇ f ( x 0 , y 0 ) \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) ∇f(x0​,y0​)。其中 ∇ = ∂ ∂ x i ⃗ + ∂ ∂ y j ⃗ \nabla=\frac{\partial}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j} ∇=∂x∂​i +∂y∂​j ​称为向量微分算子或者Nabla算子。

   到这里，发现梯度就定义为偏导向量的方向。而方向导数一节已经证明，沿着偏导向量方向的方向导数 D u f ( x , y ) D_{u} f(x, y) Du​f(x,y)能够取得最大值。 因此在不断的迭代计算中，每一次沿着负梯度方向进行更新参数，就能够达到最低点。

   通过导数，偏导数，方向导数的逐步讲解，最后给出梯度的定义，发现梯度天生定义就是变化最快的方向。    这是未来使用梯度下降法求解优化问题的数学基础。

https://www.zhihu.com/question/36301367 马同学和忆臻 的回答 https://github.com/halfrost/Halfrost-Field