高等数学:第三章 微分中值定理与导数的应用(5)函数的极值及其求法 |
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§3.5 函数的极值及其求法 一、极值的定义 设函数
成立,称 函数的极大值与极小值统称为函数的极值; 使函数取得极值的点统称为极值点。 关于函数的极值,如下几点注记是十分重要的。 1、函数的极值概念是一个局部概念。 如果 对于极小值也是类似的。 2、极小值有可能较极大值更大。 如图: 从图中可看出,在函数取得极值之处,曲线具有水平的切线。换句话说:函数在取得极值的点处,其导数值为零。 二、函数取得极值的几个重要定理 【定理一】(可导函数取得极值的必要条件) 设函数 证明:不妨设 据极大值定义, 在 均有 当 因此 当 因此 从而 使导数为零的点(即方程 定理一的结论可换成等价的说法: 可导函数的极值点必定是为驻点。 反过来,函数的驻点不一定就是函数的极值点,它最多只是可能的极值点。 【定理二】( 函数取得极值的第一充分条件 ) 设函数 (1)、当 (2)、当 (3)、当 下面,我们给出第一充分条件的记忆方法: 一般 + 号往往表示得分,盈利等吉利的事情,蕴含有增加的意思,我们可解释 + 号表示走好运,走上坡路。 而 - 号又往往表示扣分、亏损等不吉利的事情,它含有减少的意思,我们可解释 - 号为走背运,走下坡路。 当 当 【例1】求函数 解:函数的定义域为
令 当 当 故
当 故
【定理三】(函数取得极值的第二充分条件) 设函数 (1)、当 (2)、当 下面对情形(1)给出证明, 情形(2)的证明完全类似。 由于 据函数极限的性质, 当 而 于是,对于这邻域内不同于 即:当 当 据定理二知: 对极值判定的第二充分条件来说,如下注记是重要的。 1、对于二阶可导的函数 如果 这三个函数在原点处的一阶、二阶导数均为零,它们分别有极小值、极大值,无极值。 2、极值判定的第二充分条件的记忆方法 【例2】求函数 解: 令
而 当 当 故函数在 三、函数在不可导点处的极值判定 前面的讨论中, 都假定了函数在所讨论的区间内是可导的这一条件。如果函数在某些点处的导数不存在, 函数在这些点处有可能取得极值吗? 换句话说,使函数不可导的点,是可疑的极值点吗? 【例4】讨论函数 这两例所反映的事实说明: 函数的不可导点,也是函数可疑的极值点,在讨论函数的极值时,应予以考虑。 六、结论 求函数在定义区间上的极值,先找出函数在该区间上的可疑极值点(使函数的一阶导数为零或不存在的点),再运用极值判定的第一或第二充分条件,对这些可疑极值点是否确实为极值点进行判定。
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