我们在第三章 § 4 § 4 §4 曾经介绍过解析函数与调和函数这两个概念之间的关系,即定理 3.18 与定理 3.19 .

本章我们将进一步研究调和函数的性质.我们会发现调和函数与解析函数有某些类似的性质.对于解析函数, 我们有柯西积分公式; 而对于调和函数,就有下面要介绍的与柯西积分公式性质相类似的泊松积分公式.解析函数有平均值定理和极值原理,调和函数也有相类似的结果.最后给出单位圆内和上半平面内狄利克雷 (Dirichlet) 问题的解.

为了方便起见, 我们有时将用 u ( z ) u(z) u(z) 来代替 u ( x , y ) u(x, y) u(x,y),就如同对于含几个变数的函数, 用 u ( p ) u(p) u(p) 来代替 u ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) u\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) u(x1​,x2​,⋯,xn​) 那样, 这时 p p p理解为其坐标为 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) (x1​,x2​,⋯,xn​)的点.

如果函数 u ( z ) u(z) u(z) 在圆 ∣ ζ − z 0 ∣ < R \left|\zeta-z_{0}\right|