m ≤ f ( x ) ≤ M , 其 中 m , M 分 别 为 f ( x ) 在 [ a , b ] 的 最 小 值 ， 最 大 值 。 m\le f (x)\le M,其中m,M分别为f(x)在[a,b]的最小值，最大值。 m≤f(x)≤M,其中m,M分别为f(x)在[a,b]的最小值，最大值。

当 m ≤ μ ≤ M 时 ， 存 在 ξ ∈ [ a , b ] ， 使 f ( ξ ) = μ . 当m\le \mu\le M时，存在\xi\in[a,b]，使f(\xi)=\mu. 当m≤μ≤M时，存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ.

当 a < x 1 < x 2 < ⋯ < x n < b 时 ， 在 [ x 1 , x n ] 上 至 少 存 在 一 点 ξ 使 当a\lt x_1\lt x_2 \lt\dots\lt x_n\lt b时，在[x_1,x_n]上至少存在一点\xi使 当a可导…一般题意已知取极值​⇒f′(x0​)=0

只需要说明可导函数最值在区间内部取到 。 f ( x ) 最 大 值 在 ( a , b ) 内 ⇒ f ( x ) 在 x = ξ 处 取 极 值 ⇒ 存 在 ξ ∈ ( a , b ) 使 得 f ′ ( ξ ) = 0. f(x)最大值在(a,b)内\Rarr f(x)在x=\xi处取极值\Rarr存在\xi\in(a,b)使得f'(\xi)=0. f(x)最大值在(a,b)内⇒f(x)在x=ξ处取极值⇒存在ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=0.

设 f ( x ) 在 x 0 处 满 足 { [ a , b ] 连 续 ( a , b ) 可 导 f ( a ) = f ( b ) , 则 存 在 ξ ∈ ( a , b ) , f ′ ( ξ ) = 0. 设f(x)在x_0处满足\begin{cases} [a,b]连续\\ (a,b)可导 \\ f(a)=f(b) \end{cases},则存在\xi\in(a,b),f'(\xi)=0. 设f(x)在x0​处满足⎩⎪⎨⎪⎧​[a,b]连续(a,b)可导f(a)=f(b)​,则存在ξ∈(a,b),f′(ξ)=0.

一 般 证 明 f ′ ( ξ ) = 0 为 复 杂 函 数 F ′ ( ξ ) = 0 ， 考 察 ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ 的 逆 运 用 。 一般证明f'(\xi)=0为复杂函数F'(\xi)=0，考察(uv)'=u'v+uv'的逆运用。 一般证明f′(ξ)=0为复杂函数F′(ξ)=0，考察(uv)′=u′v+uv′的逆运用。

注意： [ f ( x ) e φ ( x ) ] ′ 时 ， e φ ( x ) 恒 大 于 0 ， 一 般 题 目 需 要 证 明 f ′ ( x ) + f ( x ) φ ′ ( x ) = 0. [f(x)e^{\varphi(x)}]'时，e^{\varphi(x)}恒大于0，一般题目需要证明f'(x)+f(x)\varphi'(x)=0. [f(x)eφ(x)]′时，eφ(x)恒大于0，一般题目需要证明f′(x)+f(x)φ′(x)=0.

设 函 数 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] . 上 连 续 , 在 ( 0 , 1 ) 内 二 阶 可 导 , 过 点 A ( 0 , f ( 0 ) ) 与 B ( 1 , f ( 1 ) ) 的 直 线 设函数f(x)在[0,1]. 上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线 设函数f(x)在[0,1].上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线 与 曲 线 y = f ( x ) 相 交 于 点 C ( c , f ( c ) ) , 其 中 0 < c < 1 , 证 明 存 在 ξ ∈ ( 0 , 1 ) , 使 得 f ′ ′ ( ξ ) = 0. 与曲线y= f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0