可降阶的高阶微分方程 |
您所在的位置：网站首页 › 不显x的微分方程 › 可降阶的高阶微分方程 |
可降阶的高阶微分方程
|
对于一个一般的高阶常微分方程没有一般通用解法，能解出的方程也十分稀少，一个可行的策略是将高阶的方程转化为更低阶的方程，例如化二阶微分方程为一阶微分方程，这样在一定程度上可以简化计算。 目录 1 降阶积分型 2 导数代换型 3 齐次微分方程的特解变换 4 上下节 降阶积分型[]设一个 n {\displaystyle n} 阶常微分方程中不显含 y , y ′ , ⋯ , y ( k − 1 ) {\displaystyle y, y', \cdots, y^{(k-1)}} ，即 F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , ⋯ , y ( n ) ) = 0. {\displaystyle F(x, y^{(k)}, y^{(k+1)}, \cdots, y^{(n)}) = 0.} 令 z ( x ) = y ( k ) ( x ) {\displaystyle z(x) = y^{(k)} (x)} ，就得到 F ( x , z , z ′ , ⋯ , z ( n − k ) ) = 0. {\displaystyle F(x, z, z', \cdots, z^{(n-k)}) = 0.} 设法若求得上述低阶方程的通解 z ( x ) = φ ( x , C 1 , C 2 , ⋯ , C n − k ) . {\displaystyle z(x) = \varphi(x, C_1, C_2, \cdots, C_{n-k}).} 对其积分 k {\displaystyle k} 次，就得到 y ( x ) = ψ ( x , C 1 , C 2 , ⋯ , C n ) . {\displaystyle y(x) = \psi(x, C_1, C_2, \cdots, C_{n}).} 导数代换型[]设一个 n {\displaystyle n} 阶常微分方程中不显含自变量 x {\displaystyle x} ，即 F ( y , y ′ , y ″ , ⋯ , y ( n ) ) = 0. {\displaystyle F(y, y', y'', \cdots, y^{(n)}) = 0.} 做代换 z ( y ) = y ′ ( x ) {\displaystyle z(y) = y'(x)} ，将 y {\displaystyle y} 视作新变元，注意到 { y ′ = z , y ″ = d z d x = d z d y d y d x = z d z d y , y ‴ = d y ″ d x = d y ″ d y d y d x = z ( d z d y ) 2 + z 2 d 2 z d y 2 , ⋯ . {\displaystyle \begin{cases} y' = z, \\ y'' = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}, \\ y''' = \dfrac{\mathrm{d}y''}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y''}{\mathrm{d}y} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z \left( \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \right)^2 + z^2 \dfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}y^2}, \\ \cdots. \end{cases}} 这样，原来的 n {\displaystyle n} 阶方程可以化为如下 n − 1 {\displaystyle n-1} 阶方程 G ( y , z , d z d y , d 2 z d y 2 , ⋯ , d n − 1 z d y n − 1 ) = 0. {\displaystyle G \left( y, z, \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}, \dfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}y^2}, \cdots, \dfrac{\mathrm{d}^{n-1} z}{\mathrm{d}y^{n-1}} \right) = 0.} 齐次微分方程的特解变换[]这里假设齐次微分方程是变系数的，常系数的在Euler 待定指数函数法和非齐次常系数线性常微分方程中已有讨论. 若已知齐次线性微分方程 d n y d x n + a 1 ( x ) d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( x ) d y d x + a n ( x ) y = 0 ( ∗ ) {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n} + a_1(x) \dfrac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d} x^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} (x) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_n (x) y = 0 \qquad (*)} 的 k {\displaystyle k} 个非零线性无关的特解 y j ( x ) , j = 1 , 2 , ⋯ , k {\displaystyle y_j (x), j = 1,2,\cdots,k} ，可以通过适当的变换，使其阶数降低 k {\displaystyle k} 阶，得到一个 n − k {\displaystyle n-k} 阶的齐次微分方程。令 y ( x ) = y k ( x ) z ( x ) {\displaystyle y(x) = y_k (x) z(x)} ，根据莱布尼兹公式得到它的各阶导数 y ( j ) ( x ) = ∑ j = 1 j ( j i ) y k ( i ) ( x ) z ( j − i ) ( x ) , j = 1 , 2 , ⋯ , k . {\displaystyle y^{(j)} (x) = \sum_{j=1}^j \binom{j}{i} y_k^{(i)} (x) z^{(j-i)} (x), \quad j = 1,2,\cdots,k.} 将它们代入 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} 中，得到 ∑ j = 0 n ∑ i = 0 n − j ( n − i j ) a i ( x ) y k ( n − j − i ) ( x ) z ( j ) ( x ) = 0. {\displaystyle \sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^{n-j} \binom{n-i}{j} a_i (x) y_k^{(n-j-i)} (x) z^{(j)} (x) = 0.} 其中 a 0 ( x ) = 1 , ( 0 0 ) = 1 {\displaystyle a_0 (x) = 1, \binom{0}{0} = 1} ，注意到 j = 0 {\displaystyle j = 0} 时 ∑ i = 0 n ( n − i 0 ) a i ( x ) y k ( n − i ) ( x ) z ( x ) = 0 {\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \binom{n-i}{0} a_i (x) y_k^{(n-i)} (x) z (x) = 0} 及 y k ( x ) {\displaystyle y_k (x)} 时方程 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} 的一个解，上式恒成立，消去后便得到 ∑ j = 1 n ∑ i = 0 n − j ( n − i j ) a i ( x ) y k ( n − j − i ) ( x ) z ( j ) ( x ) = 0. {\displaystyle \sum_{j=1}^n \sum_{i=0}^{n-j} \binom{n-i}{j} a_i (x) y_k^{(n-j-i)} (x) z^{(j)} (x) = 0.} 它是一个不显含因变量 z ( x ) {\displaystyle z(x)} 的方程，最高阶导数项系数是 y k ( x ) {\displaystyle y_k (x)} ，由导数代换型的分析，引入新变量 w ( x ) = z ′ ( x ) {\displaystyle w(x) = z'(x)} ，并在上式中各项同时除以 y k ( x ) {\displaystyle y_k (x)} ，便得到 w ( n − 1 ) ( x ) + b 1 ( x ) w ( n − 2 ) ( x ) + ⋯ + b n − 1 w ( x ) = 0 , ( ∗ ∗ ) {\displaystyle w^{(n-1)}(x) + b_1(x) w^{(n-2)}(x) + \cdots + b_{n-1} w(x) = 0, \quad (**)} 方程的阶数降了一阶，且 y ( x ) = y k ( x ) ∫ w ( x ) d x . {\displaystyle y(x) = y_k (x) \int w(x) \mathrm{d}x.}因此，利用 k {\displaystyle k} 个线性无关的特解，可以将原方程降低 k {\displaystyle k} 阶，得到 n − k {\displaystyle n-k} 阶的较为简单的方程。 上下节[] 上一节：非齐次常系数线性常微分方程 下一节：常微分方程的幂级数解法 定性理论（学科代码：1104410，GB/T 13745—2009） 一阶常微分方程 变量分离方程 ▪ 一阶线性微分方程 ▪ Bernoulli 方程 ▪ 一阶齐次微分方程 ▪ 一阶广义齐次方程 ▪ 一次有理分式微分方程 ▪ 恰当微分方程 ▪ 一阶隐式常微分方程 ▪ 一阶常微分方程的一般理论问题 ▪ 一阶常微分方程的解对初值的性质 线性常微分方程 Euler 待定指数函数法 ▪ Euler 方程 ▪ 非齐次常系数线性常微分方程 ▪ 可降阶的高阶微分方程 常微分方程组 线性常微分方程组 ▪ 线性常微分方程组的解的结构 ▪ 常系数线性常微分方程组 所在位置：数学（110）→ 常微分方程（11044）→ 定性理论（1104410） |
阶常微分方程中不显含
y
,
y
′
,
⋯
,
y
(
k
−
1
)
{\displaystyle y, y', \cdots, y^{(k-1)}}
，即
令
z
(
x
)
=
y
(
k
)
(
x
)
{\displaystyle z(x) = y^{(k)} (x)}
，就得到
F
(
x
,
z
,
z
′
,
⋯
,
z
(
n
−
k
)
)
=
0.
{\displaystyle F(x, z, z', \cdots, z^{(n-k)}) = 0.}
设法若求得上述低阶方程的通解
z
(
x
)
=
φ
(
x
,
C
1
,
C
2
,
⋯
,
C
n
−
k
)
.
{\displaystyle z(x) = \varphi(x, C_1, C_2, \cdots, C_{n-k}).}
对其积分
k
{\displaystyle k}
次，就得到
y
(
x
)
=
ψ
(
x
,
C
1
,
C
2
,
⋯
,
C
n
)
.
{\displaystyle y(x) = \psi(x, C_1, C_2, \cdots, C_{n}).}
导数代换型[]
，即
做代换
z
(
y
)
=
y
′
(
x
)
{\displaystyle z(y) = y'(x)}
，将
y
{\displaystyle y}
视作新变元，注意到
{
y
′
=
z
,
y
″
=
d
z
d
x
=
d
z
d
y
d
y
d
x
=
z
d
z
d
y
,
y
‴
=
d
y
″
d
x
=
d
y
″
d
y
d
y
d
x
=
z
(
d
z
d
y
)
2
+
z
2
d
2
z
d
y
2
,
⋯
.
{\displaystyle \begin{cases}
y' = z, \\
y'' = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}, \\
y''' = \dfrac{\mathrm{d}y''}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y''}{\mathrm{d}y} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z \left( \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \right)^2 + z^2 \dfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}y^2}, \\
\cdots.
\end{cases}}
这样，原来的
n
{\displaystyle n}
阶方程
G
(
y
,
z
,
d
z
d
y
,
d
2
z
d
y
2
,
⋯
,
d
n
−
1
z
d
y
n
−
1
)
=
0.
{\displaystyle G \left( y, z, \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}, \dfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}y^2}, \cdots, \dfrac{\mathrm{d}^{n-1} z}{\mathrm{d}y^{n-1}} \right) = 0.}
齐次微分方程的特解变换[]
的
k
{\displaystyle k}
，可以通过适当的变换，使其阶数降低
k
{\displaystyle k}
阶的齐次微分方程。
，根据莱布尼兹公式得到它的各阶导数
将它们代入
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
中，得到
∑
j
=
0
n
∑
i
=
0
n
−
j
(
n
−
i
j
)
a
i
(
x
)
y
k
(
n
−
j
−
i
)
(
x
)
z
(
j
)
(
x
)
=
0.
{\displaystyle \sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^{n-j} \binom{n-i}{j} a_i (x) y_k^{(n-j-i)} (x) z^{(j)} (x) = 0.}
其中
a
0
(
x
)
=
1
,
(
0
0
)
=
1
{\displaystyle a_0 (x) = 1, \binom{0}{0} = 1}
，注意到
j
=
0
{\displaystyle j = 0}
时
∑
i
=
0
n
(
n
−
i
0
)
a
i
(
x
)
y
k
(
n
−
i
)
(
x
)
z
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \binom{n-i}{0} a_i (x) y_k^{(n-i)} (x) z (x) = 0}
及
y
k
(
x
)
{\displaystyle y_k (x)}
时方程
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
它是一个不显含因变量
z
(
x
)
{\displaystyle z(x)}
的方程，最高阶导数项系数是
y
k
(
x
)
{\displaystyle y_k (x)}
，并在上式中各项同时除以
y
k
(
x
)
{\displaystyle y_k (x)}
方程的阶数降了一阶，且
y
(
x
)
=
y
k
(
x
)
∫
w
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle y(x) = y_k (x) \int w(x) \mathrm{d}x.}
【本文地址】