初等积分法即把微分方程的求解问题化为积分问题，用有限次求积分的方法求出微分方程的解。

对于一般的一阶常微分方程，并没有通用的初等解法。但在数学家的不断努力下，还是有大量针对特定类型方程求解的一般方法被提了出来，在这里简单的总结记录一下以供自己查阅。

有着以下形式的方程称为变量分离方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y)$$

如果 $\varphi(y)\not= 0$，则方程可以改写为

$$\frac{dy}{\varphi(y)}=f(x)dx$$

这样，变量就被“分离”开来了。对上述方程两边积分，得到通积分

$$\int\frac{dy}{\varphi(y)}=\int f(x)dx+C$$

其中 $C$ 为任意常数，$\displaystyle{\int\frac{dy}{\varphi(y)}}$ 、$\displaystyle{\int f(x)dx}$ 分别理解为 $\dfrac{1}{\varphi(y)}$ 、$f(x)$ 的原函数。可以验证该通积分即为原方程的通解

由于上式不适合 $\varphi(y)=0$ 时的情形，因此还必须寻求 $\varphi(y)=0$ 的解 $y_0$ ，当 $y=y_0$ 不包括在上述通解中时，必须补上特解 $y=y_0$

如果微分方程

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

可以改写成如下形式：

$$\frac{dy}{dx}=\Phi(\frac{y}{x})$$

则称其为齐次方程

对于改写后的齐次方程，令 $u=\dfrac{y}{x}$ ，即 $y=ux$ ，则

$$\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u$$

代入原改写后的齐次方程，得

$$x\frac{du}{dx}+u=\Phi(u)$$

可以整理为

$$\frac{du}{dx}=\frac{\Phi(u)-u}{x}$$

这是一个变量分离方程，可以按变量分离方程的求解步骤求解，求解后代回原变量即可得到原方程的解。

除了上面提到的类型，有些方程经过简单的变换可以化为齐次方程来求解，这里不再过多介绍。

有着如下形式的方程称为一阶线性微分方程

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$

其中 $p(x)$ ，$q(x)$ 是区间 $I$ 上的连续函数，而称方程

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$$

为相应的一阶齐次线性微分方程。如果 $q(x)\not\equiv 0$，也称上述“一阶线性微分方程”为一阶非齐次线性微分方程

一阶齐次线性微分方程

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$$

是一个变量分离方程。 $y=0$ 是它的一个解，如果 $y\not= 0$ ，则方程可以改写为

$$\frac{dy}{y}+p(x)dx=0$$

其解为

$$ln|y|+\int p{x}dx=C_1,\quad C_1是任意常数$$

它可以改写为

$$y=Ce^{-\int p(x)dx}$$

其中 $C=\pm e^{C_1} \not= 0$ 是任意常数。不考虑 $C$ 和 $C_1$ 之间关系的话， $C$ 可以取任意数。如果允许 $C=0$ ，则特解 $y=0$ 就在上述方程定义的曲线族中。由此可知原方程的通解为：

$$y=\phi_c(x):=Ce^{-\int p(x)dx}$$

常数变易法是一种求解一阶非齐次线性微分方程通解的方法，由法国数学家 Lagrange（拉格朗日）在 1774 年提出，具体求解过程如下：

先求出对应一阶齐次线性微分方程的通解，再设所求的一阶非齐次线性微分方程有形如

$$y=C(x)e^{-\int p(x)dx}$$

的解，其中 $C(x)$ 为待定函数。将上式代入所求方程，可得

$$C’(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)$$

从而得

$$C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C$$

其中 $C$ 是任意常数。由此知道，前面所设通解中的 $C(x)$ 取上式时，所设的通解满足原一阶非齐次线性微分方程。所以，一阶非齐次线性微分方程的通解为

$$y=e^{-\int p(x)dx}\left(C+\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx\right)$$

其中 $C$ 为任意常数，上式也可写成

$$y=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx$$

它由两部分组成：

$$y=\phi_c(x)+y_p(x)$$

其中 $\phi_c(x)$ 是一阶齐次线性微分方程的通解，而

$$y_p(x)=e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx$$

是原一阶非齐次线性微分方程的一个特解（取 $C=0$ ）

Bernoulli（伯努利）方程和 Riccati（里卡蒂）方程是两类形式最简单的非线性方程。其中 Bernoulli 方程是可以求解的，Riccati 方程一般不能用初等积分法求解，这里只介绍 Bernoulli 方程

形如

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n$$

的方程称为 Bernoulli 方程，其中 $n$ 为常数，且 $n\not=0$ 和 $1$ 。方程两边同乘 $(1-n)y^{-n}$ ，得

$$(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}+(1-n)y^{1-n}p(x)=(1-n)q(x)$$

再令 $z=y^{1-n}$ ，就有

$$\frac{dz}{dz}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$$

这是关于未知函数 $z$ 的一阶线性方程，由前面一阶线性方程的求解步骤可以求得 Bernoulli 方程的通解为

$$y^{1-n}=e^{-(1-n)\int p(x)dx}\left(C+(1-n)\int q(x)e^{(1-n)\int p(x)dx}dx\right)$$

其中 $C$ 为任意常数。当 $n>0$ 时， $y=0$ 也是 Bernoulli 方程的解

考虑对称形式的一阶微分方程

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

如果存在一个可微函数 $\Phi(x,y)$ ，使得它的全微分为

$$d\Phi(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

则称其为恰当方程或全微分方程，$\Phi(x,y)$称作是一个原函数。由该定义，原方程为恰当方程当且仅当有一个可微函数 $\Phi(x,y)$ 满足

$$\frac{\partial\Phi}{\partial x}=P(x,y),\quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=Q(x,y)$$

此时可以很容易证明 $\Phi(x,y)=C$ 就是原方程的通积分，其中 $C$ 是任意常数。

由此可证明如下定理：设函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域

$$R:\alpha < x