课程号：00132361，00132362，00132363

课程名称：数学分析（I, II, III）（实验班）

开课学期：秋季开始（三学期）

学分：    5+5+4

先修课程：无

基本目的： 本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。基本内容包括极限论、微分学、积分学、级数理论。本课程是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析同时也是大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学分析的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。

内容提要：                 第一部分        一元微积分学

一.函数：实数理论简介,确界存在定理,函数概念与基本性质,初等函数；二.序列极限：定义,无穷小量无穷大量,性质,单调有界序列,实数系连续性的基本定理,Cauchy收敛准则，序列的上、下极限；三．函数的极限与连续性：定义与推广，性质，数列极限与函数极限关系，函数极限存在性定理及两个重要极限，函数连续与间断，连续函数基本性质与初等函数连续性，闭区间连续函数性质，一致连续函数，无穷小量与无穷大量的阶；四．导数和微分：导数引入与定义，单侧导数，求导方法，微分定义与一阶微分形式不变性，高阶导数与高阶微分；五．导数的应用：微分中值定理，del′Hospitale法则，Taylor公式，利用导数研究函数；六．不定积分：原函数,不定积分,第一与第二换元法,分部积分法,常见函数不定积分,有理函数积分；七．定积分:定积分概念与微积分基本定理,定积分几何意义,可积的必要条件,Daboux理论与可积函数类,定积分的性质,变限积分,定积分的计算,换元法、分部积分法,定积分第一、二中值定理,定积分的几何应用与简单物理应用,曲线的曲率

第二部分        多元微积分

一．中的点集拓扑初步，连续函数:中的点集拓扑初步；多元函数的极限与连续性；二．多元函数微分学:偏导数,全微分,微分的几何意义,高阶偏导数,隐函数求导,方向导数与梯度,Taylor公式,向量函数求导；三．隐函数定理:隐函数定理,逆变换定理；四．多元函数的极值问题:普通极值问题,条件极值问题,Lagrange乘子法,最小二乘法；五．重积分:定义,存在性与性质,计算：化为累次积分与重积分的变量替换,广义重积分,余面积公式；六．曲线积分, 曲面积分与场论初步:第一型与第二型曲线积分,第一型与第二型曲面积分；Green公式,Gauss公式,Stokes公式,曲线积分与路径无关,微分流形初步：微分形式,外微分,微分形式的拉回,微分流形,微分流形上微分形式的积分,Stokes公式,等周不等式简介

第三部分         级数理论

一．数项级数：数项级数的概念；Cauchy 准则；条件收敛与绝对收敛性；正项级数收敛的基本判别法；任意级数收敛的基本判别法； 数项级数的性质（交换律；结合律；分配律）；无穷乘积；重级数和累次级数简介；二．函数序列与函数级数：函数数列与级数研究的基本问题；  一致收敛性的定义； 一致收敛的Cauchy准则及其判别法；一致收敛性的极限函数的性质；三．幂级数：幂级数的收敛半径与收敛域；幂级数的性质；初等函数的幂级数展开；求Taylor展式的方法； Weierstrass逼近定理及其他逼近定理；幂级数的应用；四．Fourier级数：基本三角函数系；  周期函数Fourier级数； Fourier级数的点收敛；Dirichlet 积分与收敛的判别法；  Fourier级数的均方收敛，Parseval等式；一致收敛；五.Fourier分析初步：波方程和热方程简介;核的概念；Fourier级数的应用；六.调和函数和Laplace方程初步：平均值不等式；极大值原理；Harnack不等式；Green函数；Poisson积分；Dirichlet问题

教学方式：课堂讲授

教材与参考书： 1.伍胜健， 数学分析（I, II, III）, 北京大学出版社

2.方企勤等， 数学分析（1，2，3）， 高等教育出版社

3.彭立中，谭小江， 数学分析（1，2，3），高等教育出版社。

4.卓里奇：数学分析（一，二），高等教育出版社

5.Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press. ISBN 069111384X。

学生成绩评定方法：作业10-15％，期中考试35-40％，期末考试50％。

课程修订负责人：周斌