Fourier级数是关于函数族$1$,$\sin x$,$\cos x$, $\sin2x$, $\cos2x$, $\cdots$的展开，适合研究那些具有周期的现象

以$T$为周期的函数$f(x+T)=f(x)$，取$\xi=\frac{2\pi x}T$，则$y(\xi)=f(\frac{T}{2\pi}\xi)$，且有

因此，只研究周期为$2\pi$的函数就可以了。

定义 1. 以$2\pi$为周期的函数$f(x)$的Fourier级数展开为

其中$a_0$, $a_n$, $b_n$, $n=1,2,\cdots$称为$f(x)$的Fourier系数

定义 2. 三角函数$1$,$\sin x$,$\cos x$, $\sin2x$, $\cos2x$, $\cdots$称为三角函数系。

三角函数系在其一个周期$[-\pi,\pi]$上具有正交性，即三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间$[-\pi,\pi]$上的积分为$0$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot \sin(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot \cos(nx)dx=0$, $n=1,2,3,\cdots$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx=0$, $m\neq n$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx=0$, $m,n=1,2,3,\cdots$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)dx=\pi$, $n=1,2,\cdots$

$\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2\pi$

定理 1. 设周期为$2\pi$的函数$f(x)$可以展开成Fourier级数

则Fourier系数由下面的Euler-Fourier公式给出

证明.

例 1. (10.1.2) 将函数展开为Fourier级数

判定敛散性，并求和函数

定理 2. (Dirichlet收敛定理) $f(x)$以$2\pi$为周期，且在任意有限区间上逐段光滑，则

（1） 它的Fourier级数在整个数轴上都收敛；$f(x)$在每个连续点处收敛于$f(x)$，在每个间断点处收敛于$\frac{f(x+)+f(x-)}2$

（2） 如果$f(x)$在整个数轴上处处连续，则其Fourier级数在整个数轴上绝对一致收敛于$f(x)$，即Fourier级数的绝对值级数在整个数轴上一致收敛

注. 逐段光滑是指：对任意有限区间$[a,b]$，存在有限个点，将区间$[a,b]$分成有限个子区间，使得函数$f(x)$在每个子区间内连续，且有连续的导数$f'(x)$，而在这些子区间的端点处$f(x)$及$f'(x)$最坏只能是第一类间断。

称

为一个$n$次三角多项式。

定理 3. $f(x)$是定义在整个数轴上的周期为$2\pi$的逐段光滑的连续函数，则$f(x)$可以被三角多项式一致逼近

Gibbs现象: Fourier级数在$f(x)$的间断点附近的误差趋于该间断处跳跃$|f(x+)-f(x-)|$的约$9\%$。

若$f(x)$以$2l$为周期，取

则$g(t)$以$2\pi$为周期，这样，有

其中

回到变量$x$，就有

其中

若$f(x)$是以$2\pi$为周期的奇函数，则有

则有

称为Fourier正弦级数，此时

若$f(x)$是以$2\pi$为周期的偶函数，则有

则有

称为Fourier余弦级数，此时

有限区间上的函数，作“周期延拓”到整个区间，然后求解

$f(x)$定义在$[-l,l]$逐段光滑，直接做周期为$2l$的周期开拓，

则$F(x)$是定义在整个数轴上的$2l$为周期的函数

则有Fourier展开

其中

对于$f(x)$同样有，

例 2. (例10.1.6) 将函数