线性代数知识点总结（干货满满） |
您所在的位置：网站首页 › ae的转置等于多少 › 线性代数知识点总结（干货满满） |
|
文章目录
1. 行列式1.1 余子式与代数余子式1.2 行列式计算1.3 克莱姆法则
2. 矩阵2.1 矩阵的运算2.1.1 加法运算2.1.2 数乘运算2.1.3 矩阵的乘法2.1.4 矩阵的幂运算
2.2 矩阵的转置2.3 方阵的行列式2.4 伴随矩阵2.5 逆矩阵2.5.1 逆矩阵性质2.5.2 逆矩阵的求法2.5.3 逆矩阵的应用
2.6 矩阵的初等变换2.6.1 初等矩阵
2.7 初等变换的应用2.7.1 求逆矩阵2.1.2 求解矩阵方程
2.9 行最简矩阵与矩阵的秩2.9.1 行最简矩阵2.9.2 矩阵的秩2.9.3 分块矩阵
3. 向量组的线性相关性3.1 向量组的线性关系3.1.1 线性组合与线性表示3.1.2 线性相关与线性无关3.1.3 线性相关性结论(重要)
3.2 向量组的秩3.2.1 向量组的极大无关组3.2.2 向量组的秩的定义
3.3 *向量空间
4. 线性方程组4.1 消元法解线性方程组4.2 非齐次线性方程组解的判定4.3 齐次线性方程组解的判定4.4 齐次线性方程组的解的结构4.5 非齐次线性方程组的解的结构
5. 矩阵相似与对角化5.1 特征值与特征向量5.2 特征值与特征向量的若干结论5.2.1 求特征值和特征向量的一般方法
5.3 相似矩阵与可对角化的条件5.3.1 矩阵可对角化
5.4 向量的内积与正交矩阵5.4.1 内积5.4.2 正交向量组
6. 二次型6.1 可逆变换6.2 二次型的标准型6.2.1 配方法化二次型为标准型6.2.2 初等变换化二次型为标准型
6.3 正定二次型
待完善 ~~~
1. 行列式
行列式的定义：n*n个数字排成n行n列，叫做n阶行列式。 行列式的项数： 2阶行列式有2项3阶行列式有6项4阶行列式有24项 1.1 余子式与代数余子式余子式：关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的（n－k）×（n－k）矩阵的行列式。 代数余子式：元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。 行列式按行展开 行列式的值D = 任意一行（列）元素*自己的代数余子式之和异乘变零定理 某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0拉普拉斯定理（k阶子式） k=2 2阶子式：取任意两行两列，交界的元素就是2阶子式余子式：两行两列之外（剩余）的元素就是余子式代数余子式：（-1）^（行1+行2+列1+列2）*余子式拉普拉斯展开定理 n阶行列式中，任意取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式的乘积之和=行列式的值（D）行列式相乘：（同阶行列式）三阶行列式： 第一行 第一行元素*第一列元素，元素对应先相乘再相加第一行元素*第二列元素，…第一行元素*第三列元素，…第二行 第二行元素*第一列元素，…第二行元素*第二列元素，…第二行元素*第三列元素，…第三行 第三行元素*第一列元素，…第三行元素*第二列元素，…第三行元素*第三列元素，… 1.2 行列式计算化成上下三角 按行展开 制造行和：如图所示行列式 ∣ x a a a x a a a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 a a 1 x a 1 a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 0 0 1 x 0 1 0 x ∣ ( 用第一列乘 − a 加到后两列去，形成下三角求和 ) \left|\begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right|-> (x+2a)\left|\begin{matrix} 1 & a & a \\ 1 & x & a \\ 1 & a & x \end{matrix} \right| -> (x+2a) \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{matrix} \right|(用第一列乘-a加到后两列去，形成下三角求和) xaaaxaaax −>(x+2a) 111axaaax −>(x+2a) 1110x000x (用第一列乘−a加到后两列去，形成下三角求和) 加边法：不能改变原行列式的值 范德蒙德行列式：[范德蒙行列式_百度百科 (baidu.com)] 反对称行列式 主对角线全为零 aii=-aii aii=0对角线对称位置对应成相反数 aij=-aji如果是奇数阶，则D=0（利用转置性质）对称行列式 主对角线元素没有要求对角线对称位置对应成相等 aij=aji 1.3 克莱姆法则方程的个数等于未知量的个数 n个方程，n个未知量 D !=0 ： Xi= Di/D Di 表示的是把系数行列式中第 i 列的元素用 常数项列 替代 定理与推论： 定理1：系数行列式D不等于0，则方程组有唯一解，解为：x1=D1/D,x2=D2/D … 推论1：线性方程组无解或者有多组不同的解，系数行列式D=0定理2：齐次线性方程组的系数行列式 D!=0，则齐次线性方程组只有零解 齐次线性方程组有非零解的充要条件 D=0简单来说： D!=0 ，只有零解D=0，有非零解 2. 矩阵 2.1 矩阵的运算 2.1.1 加法运算同型矩阵才能相加减 对应行对应列的元素相加即可 2.1.2 数乘运算 把矩阵的每一个元素都乘以k矩阵的加减法与矩阵的数乘运算统称为矩阵的线性运算 2.1.3 矩阵的乘法定义： 设A=(aij)ms， B=(bij)s * n ,则C=(cij)mn=AB 只有当左边矩阵A的行数等于右边矩阵B的列数才能做乘法运算。 相乘后，结果矩阵的行数等于左边矩阵A的行数，列数等于右边矩阵B的列数。 矩阵cij的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B第j列元素相乘后相加。 矩阵乘法与普通乘法运算规则不同 若矩阵满足AB=BA，则A和B是可交换的，仅当A和B可交换时，才满足交换律，结合律等数学公式 2.1.4 矩阵的幂运算 将k个Aij连乘即为A的k次幂 2.2 矩阵的转置 将矩阵Aij转换为Aji，即行列互换即为A的转置（AB）的转置 = B转置*A转置A的转置等于A，则A是对称矩阵A的转置等于-A，则A是反对称矩阵 2.3 方阵的行列式 N阶方阵的所有元素（Aij）n*n 按照原来的位置构成的的行列式，称为方阵A的行列式，记作 |A|或者 detA方阵行列式：是一个数；方阵：是一个数表方阵行列式的性质A的n阶方阵，若|A|!=0，则A为非奇异矩阵，当 |A|=0，则A为奇异矩阵 2.4 伴随矩阵A=（aij）n*n 是n阶方阵，则行列式 |A|中的每个元素aij的代数余子式Aij所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵 A*在（i，j）上的位置元素等于 A在 （j，i）上的位置的元素的代数余子式！！！！！！！ 伴随的一般求法： 二阶矩阵的伴随： 对角线元素互换，反对角线添负号三阶矩阵的伴随：将矩阵转置后求代数余子式A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则满足： AA *=A *A=|A|E 2.5 逆矩阵 对于n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵。记作A-1=B单位矩阵E是可逆的，它的逆矩阵等于自身，零矩阵不是可逆矩阵 2.5.1 逆矩阵性质 若方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的： 若B，C都是A 的逆矩阵，则AB=AC=E，B=BE=B(AC)=C(AB)=CE，所以 A=BAB=E，则AB均可逆，A-1=B，B-1=A，判断A是不是B的逆矩阵：判断AB=E方阵A可逆，则|A|!=0，且|A-1|=1/|A|，判断A是否可逆，则仅需判断 |A|！=0 ，|A|！=0 A可逆方阵A可逆，则A-1也可逆，则（A-1）-1=A方阵A可逆，且k！=0，则 （kA）-1= 1/k *（A-1）方阵A可逆，则A转置也可逆，（A转置）-1=（A-1）转置AB是同阶可逆矩阵，AB也可逆，则（AB）-1=B-1* A-1 2.5.2 逆矩阵的求法 根据伴随矩阵（求低阶方阵逆矩阵） 若A是非奇异矩阵（|A|不等于0，则A是可逆的），则A-1=1/|A| * A伴随 2.5.3 逆矩阵的应用 对于一个线性方程组： A是系数矩阵，B是常系数矩阵，X是未知数矩阵，因此线性方程组用矩阵表示为AX=B，因此求线性方程组的解，可以转换为求相应矩阵的解 2.6 矩阵的初等变换性质 交换矩阵的 第 i 行（列）与第 j 行（列）非零常数 k 乘以 矩阵的第 i 行（列）矩阵的第 j 行乘以 k倍 加到第 i 行上去矩阵的初等行或者列变换统称为 矩阵的初等变换 矩阵A经过有限次初等变换变成B，则A与B等价 反身性对称性传递性 矩阵的左上角为一个单位矩阵，其余元素都是零，则该矩阵为标准型矩阵 任何一个非奇异矩阵，经过有限次初等行变换都能变成单位矩阵 E推论：矩阵A可逆的充要条件使它与单位矩阵E等价行变换转换为标准型矩阵的一般步骤: 行变换 转换为 行阶梯型矩阵行阶梯形矩阵 转换为 行最简行最简 列变换转换为标准型单位矩阵的行数等于行阶梯非零行的行数 2.6.1 初等矩阵三种初等变换： 交换第 i 行 与第 j 行非零常数乘以 第 i 行第 j 行乘以k 加到第 i 行上去性质： 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵也是同类型的初等矩阵初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵对一个矩阵A施行一次初等行变换等于对 A左乘一个m阶单位矩阵；对矩阵A施行一次初等列变换相当于对A右乘一个n阶单位矩阵 2.7 初等变换的应用 2.7.1 求逆矩阵 对矩阵 A 与 E做相同的初等变换等于对矩阵A 做初等行变换化为单位矩阵E时，E就变成了A的逆矩阵A-1（单位矩阵E乘以任何矩阵A，都等于矩阵A本身）( A , E ) − > ( E , A − 1 ) (A,E)->(E,A^{-1}) (A,E)−>(E,A−1) 初等列变换也是同理 2.1.2 求解矩阵方程在矩阵A，B，C均可逆的前提下： AX=B，则 X=A-1BXA=B，则 X=BA-1AXB=C，则 X=A-1CB-1 对矩阵 A 与 E做相同的初等变换等于对矩阵A 做初等行变换化为单位矩阵E时，E就变成了A的逆矩阵A-1( A , B ) − 初等行变换 − > ( E , A − 1 B ) (A,B)-^{初等行变换}->(E,A^{-1}B) (A,B)−初等行变换−>(E,A−1B) 初等列变换也是同理 2.9 行最简矩阵与矩阵的秩 2.9.1 行最简矩阵行阶梯形矩阵： 零行位于所有非零行的下面。首非零元前面零的个数一定逐行严格增加行最简型矩阵： 行阶梯形矩阵经过初等行变换使得 每一行的首非零元全部变为1，且他们所在列的其他元素都是 0，则成这样的矩阵为 行最简型矩阵 2.9.2 矩阵的秩定义：在矩阵A中，不为零子式的最高阶数称为A的秩，r（A）=min（m，n），则A为满秩矩阵，否则为降秩矩阵 性质： 任意矩阵A与秩满足： 0 |
今日新闻 |
推荐新闻 |
| CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |