矩阵的范数 |
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向量范数
0-范数,向量中非零元素的个数。 1-范数: ∥ x ∥ 1 = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ \lVert x\rVert_1=\displaystyle\sum_{i=1}^N\lvert x_i\rvert ∥x∥1=i=1∑N∣xi∣,即向量元素绝对值之和,matlab调用函数norm(x, 1)。 2-范数: ∥ x ∥ 2 = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ 2 ) 1 2 \lVert x\rVert_2=(\displaystyle\sum_{i=1}^N\lvert x_i\rvert^2)^{\frac12} ∥x∥2=(i=1∑N∣xi∣2)21,Euclid范数(欧几里得范数,常用计算向量长度),即向量元素绝对值的平方和再开方,matlab调用函数norm(x, 2)。 ∞-范数: ∥ x ∥ ∞ = max i ∥ x i ∥ \lVert x\rVert_{\infin}=\displaystyle\max_i\lVert x_i\rVert ∥x∥∞=imax∥xi∥,即所有向量元素绝对值中的最大值,matlab调用函数norm(x, inf)。 -∞-范数: ∥ x ∥ − ∞ = min i ∥ x i ∥ \lVert x\rVert_{-\infin}=\displaystyle\min_i\lVert x_i\rVert ∥x∥−∞=imin∥xi∥,即所有向量元素绝对值中的最小值,matlab调用函数norm(x, -inf)。 p-范数: ∥ x ∥ ∞ = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ p ) 1 p \lVert x\rVert_{\infin}=(\displaystyle\sum_{i=1}^N\lvert x_i\rvert^p)^{\frac1p} ∥x∥∞=(i=1∑N∣xi∣p)p1,即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂,matlab调用函数norm(x, p)。 矩阵范数1-范数: ∥ A ∥ 1 = max j ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \lVert A\rVert_1=\displaystyle\max_j\sum_{i=1}^m|a_{ij}| ∥A∥1=jmaxi=1∑m∣aij∣, 列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, 1)。 2-范数: ∥ A ∥ 2 = λ 1 , λ 1 \lVert A\rVert_2=\sqrt{\lambda_1},\lambda_1 ∥A∥2=λ1 ,λ1是 A T A A^TA ATA的最大特征值,谱范数,即A’A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。 ∞-范数: ∥ A ∥ ∞ = max i ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \lVert A\rVert_{\infin}=\displaystyle\max_i\sum_{j=1}^n|a_{ij}| ∥A∥∞=imaxj=1∑n∣aij∣,行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, inf)。 F-范数: ∥ A ∥ F = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 ) 1 2 \lVert A\rVert_F=(\displaystyle\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2)^{\frac12} ∥A∥F=(i=1∑mj=1∑n∣aij∣2)21,Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方,matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。 核范数: ∥ A ∥ ∗ \lVert A\rVert_* ∥A∥∗,矩阵的奇异值之和,可以用来表示低秩(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩,matlab调用函数sum(svd(A))。 |
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