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矩阵范数的定义
对于任何一个矩阵
A
∈
C
m
×
n
\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{m \times n}
A∈Cm×n，用
∥
A
∥
\|\boldsymbol{A}\|
∥A∥表示按照某一确定法则与矩阵
A
\boldsymbol{A}
A相对应的一个实数，且满足
非负性：当
A
≠
0
\boldsymbol{A} \neq 0
A=0，则
∥
A
∥
>
0
\|\boldsymbol{A}\|>0
∥A∥>0。若
A
=
0
\boldsymbol{A}=0
A=0，当且仅当
∥
A
∥
=
0
\|\boldsymbol{A}\|=0
∥A∥=0齐次性：
∥
k
A
∥
=
∣
k
∣
∥
A
∥
\|k\boldsymbol{A}\|=|k|\|\boldsymbol{A}\|
∥kA∥=∣k∣∥A∥，
k
k
k为任意复数。三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵
A
\boldsymbol{A}
A，
B
\boldsymbol{B}
B都有
∥
A
+
B
∥
≤
∥
A
∥
+
∥
B
∥
\|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\|\leq \|\boldsymbol{A}\|+\|\boldsymbol{B}\|
∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵
A
\boldsymbol{A}
A，
B
\boldsymbol{B}
B，都有
∥
A
B
∥
≤
∥
A
∥
∥
B
∥
\|\boldsymbol{AB}\|\leq \|\boldsymbol{A}\|\|\boldsymbol{B}\|
∥AB∥≤∥A∥∥B∥那么我们成
∥
A
∥
\|\boldsymbol{A}\|
∥A∥是矩阵
A
\boldsymbol{A}
A的范数
Frobenious范数
对任意
A
∈
C
m
×
n
\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}
A∈Cm×n，定义
∥
A
∥
F
=
(
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
∣
a
i
j
∣
2
)
1
2
\|\boldsymbol{A}\|_F=\left(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}|a_{ij}|^2\right)^{\frac{1}{2}}
∥A∥F=(i=1∑mj=1∑n∣aij∣2)21此范数被称为Frobenious范数。该范数的性质有：
如果
A
=
[
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
n
]
\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n}]
A=[α1,α2,⋯,αn]，那么
∥
A
∥
F
2
=
∑
i
=
1
n
∥
α
i
∥
2
2
\|\boldsymbol{A}\|_F^2=\sum\limits_{i=1}^{n}\|\boldsymbol{\alpha}_i\|^2_2
∥A∥F2=i=1∑n∥αi∥22
∥
A
∥
F
2
=
T
r
(
A
⊤
A
)
=
∑
i
=
1
n
λ
i
(
A
⊤
A
)
\|\boldsymbol{A}\|_F^2=\mathrm{Tr}(\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{A})=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i(\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{A})
∥A∥F2=Tr(A⊤A)=i=1∑nλi(A⊤A)
诱导范数
设
∥
X
∥
α
\|\boldsymbol{X}\|_{\alpha}
∥X∥α是向量范数，
∥
A
∥
β
\|\boldsymbol{A}\|_{\beta}
∥A∥β是矩阵范数，如果对于任何矩阵
A
\boldsymbol{A}
A与向量
X
\boldsymbol{X}
X都有
∥
A
X
∥
α
≤
∥
A
∥
β
∥
X
∥
α
\|\boldsymbol{AX}\|_{\alpha} \leq \|\boldsymbol{A}\|_{\beta}\|\boldsymbol{X}\|_{\alpha}
∥AX∥α≤∥A∥β∥X∥α则称矩阵范数
∥
A
∥
β
\|\boldsymbol{A}\|_{\beta}
∥A∥β与向量范数
∥
X
∥
α
\|\boldsymbol{X}\|_{\alpha}
∥X∥α是相容的。 向量
p
−
p-
p−范数
∥
X
∥
p
\|\boldsymbol{X}\|_p
∥X∥p所诱导的矩阵的范数称为矩阵
p
p
p范数，即
∥
A
∥
p
=
max
X
≠
0
∥
A
X
∥
p
∥
X
∥
p
\|\boldsymbol{A}\|_p=\max_{\boldsymbol{X} \neq \boldsymbol{0}} \frac{\|\boldsymbol{AX}\|_{p}}{\|\boldsymbol{X}\|_p}
∥A∥p=X=0max∥X∥p∥AX∥p常用的矩阵
p
−
p-
p−范数分别是
∥
A
∥
1
\|\boldsymbol{A}\|_1
∥A∥1，
∥
A
∥
2
\|\boldsymbol{A}\|_2
∥A∥2，
∥
A
∥
∞
\|\boldsymbol{A}\|_{\infty}
∥A∥∞
∥
A
∥
1
=
max
j
(
∑
i
=
1
m
∣
a
i
j
∣
)
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
\|\boldsymbol{A}\|_1=\max\limits_{j}\left(\sum\limits_{i=1}^{m}|a_{ij}|\right),j=1,2,\cdots,n
∥A∥1=jmax(i=1∑m∣aij∣),j=1,2,⋯,n，此范数又称为矩阵
A
\boldsymbol{A}
A的列和范数。
∥
A
∥
2
=
max
j
(
λ
i
(
A
⊤
A
)
)
1
2
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
\|\boldsymbol{A}\|_2=\max\limits_{j}\left(\lambda_i(\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{A})\right)^{\frac{1}{2}},j=1,2,\cdots,n
∥A∥2=jmax(λi(A⊤A))21,j=1,2,⋯,n，此范数称为矩阵
A
\boldsymbol{A}
A的谱范数。
∥
A
∥
∞
=
max
i
(
∑
j
=
1
n
∣
a
i
j
∣
)
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
\|\boldsymbol{A}\|_{\infty}=\max\limits_{i}\left(\sum\limits_{j=1}^{n}|a_{ij}|\right),i=1,2,\cdots,m
∥A∥∞=imax(j=1∑n∣aij∣),i=1,2,⋯,m，此范数称为矩阵
A
\boldsymbol{A}
A的行和范数。
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