之前说了泰勒公式的来历，我们这里继续说下如何直观理解泰勒公式的代数形式，以及泰勒公式最重要的收敛半径。

1 泰勒公式的代数形式

1.1 定义

从泰勒公式的定义开始吧：

设是一个正整数。如果定义在一个包含的区间上的函数在点处次可导，那么对于这个区间上的任意都有：

，其中的多项式称为函数在处的泰勒展开式，是泰勒公式的余项且是的高阶无穷小。

----维基百科

泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果的话，就是麦克劳伦公式，即

，简单起见，我们下面着重讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。

多说一句，麦克劳伦公式是泰勒公式非常特殊的一种情况，最早出现的时候麦克劳伦也说了，这个就是来源于泰勒公式的，没有丝毫创新。不过好像大家都视而不见，直接冠名给了麦克劳伦。历史上的一笔糊涂帐。不过也好，我们有了一个简便的名词“麦克劳伦公式”来进行下面的讨论。

1.2 幂函数的特点

麦克劳伦公式：，不看余项，展开的话就是：，这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。

根据观察可以得到幂函数的特点：

幂函数只有两种形态，一种关于原点对称，一种关于X轴对称

指数越大，增长速度越快

那幂函数要是组合起来，组合成多项式的图像会是怎么样的呢？

我们来动手试试看看通过改变系数可以如何改变图像：

可以看出我们通过调整系数，可以让图像在和摇摆，就好像弯铁丝一样。如果有更多的幂函数进行组合，只要我们想，还可以弯出一个心形，来送给你（虽然是隐函数，意思一下）：

1.3 用多项式对进行逼近

通过举个例子，帮助你进一步理解。

是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。

。

同样的，我们再增加一个试试。

可以看到在适当的位置，改变了的弯曲方向，最终让更好的逼近了。

好了我们来动手感受下如何被多项式逼近的，并且感受一下不同的展开点会导致什么不一样：

2 泰勒公式的收敛半径

关于泰勒公式，之前有一个同学问了我一个问题：

这个看似简单的问题，牵扯到一个我认为非常漂亮的数学结论，如果要我说什么让我体会到了数学之美，我一定会选择这个数学结论。

下面我就借着这个问题来讲解一下让我觉得非常动人的这个数学结论。

2.1 什么是收敛？

泰勒公式可以把可导的函数展开为幂级数：

下面叙述中，我可能把泰勒公式、泰勒级数、泰勒展开这三个名字进行混用，请依据上下文自行判断（数学看多了，说话写字都会有点强迫症，希望尽量严格些）。

我们对进行泰勒展开：

2.2 泰勒公式的奇点

什么叫做奇点？比如对于这个函数：

不光不可导点是奇点，没有定义的点也是奇点，比如：

还有一个更奇怪的奇点：

2.3 奇点与收敛圆

通过奇点来判断泰勒级数的收敛，这就是我说的那个非常漂亮的数学结论，由柯西证明的泰勒级数的收敛半径：

听起来有点拗口，而且还涉及到复平面，我们用这个函数来举例子：

上面的收敛圆意味着，在实数范围内做的话，如果在处泰勒展开展开，那么只有在内的泰勒级数才会收敛：

可以自己动手试试，点也是可以拖动的：

明白了泰勒公式的收敛半径之后，我们就可以明白：

此时回到我们最初的那个问题：

2.4 复数与实数的关系

回到我们之前挖下的坑，的奇点在哪里？

很明显时，是的奇点，因为。我们把奇点和展开点放到复平面上看看：

所以在实平面上的，虽然奇点不在实平面内，但是依然被奇点所影响，所以其收敛半径为：

我们学习的高等数学，都是在实数范围内，所以导致我很长时间认为复数只是一个表示的一个技巧，而泰勒级数收敛圆向我展示了实数切切实实是复数的一部分，哪怕你只研究实数部分的问题，仍然会被复数所影响。这是我认为它非常美丽的原因。

我们还应该认识到泰勒级数只是对原函数的近似，并且这种近似是有条件的。

2.5 运用泰勒级数估算的技巧

我不喜欢技巧，不过这里仍然说一下如何合理的估算。

首先：

其次：

但是选肯定不行，因为泰勒级数第一项就要计算，咱们何必用泰勒级数进行计算？

那选行不行？也不好，因为第一项要计算，这个我们也不清楚。

最好就选，因为计算，下面一项是也比较好计算。至于余项的计算这里就不说了。

3 总结

泰勒公式的应用很多，我这里花了很大的篇幅阐述了泰勒公式的原理及直观，希望大家可以举一反三，更好的解决相关的问题。

我们通过几何直观发现了幂级数可以近似表示各种函数，但是最终我们通过代数发现了泰勒公式，这就是代数的洞察力。

之后，我会介绍微积分发展这么久，一直萦绕在微积分头上的阴影。