设a1,a2,⋯,an是n个实数，都落在区间(-1,1)里.

(1)证明 ∏1≤i,j≤n(1+aiaj)/(1-aiaj )≥1

(2)找出以上不等式中等号成立的充分必要条件.

由于aj∈(-1,1),j=1,⋯,n，从而|ai aj |0,i,j∈{1,⋯,n}

要证

∏1≤i,j≤n(1+ai aj)/(1-ai aj )≥1

即证

∑1≤i,j≤n(ln⁡(1+ai aj )-ln⁡(1-ai aj))≥0

由Taylor级数

ln⁡(1+t)=∑i=1+∞((-1)i+1 ti)/i,t∈(-1,1)

知

∑1≤i,j≤n(ln⁡(1+ai aj )-ln⁡(1-ai aj))

=∑1≤i,j≤n∑i=1+∞(((-1)i+1 (ai aj )i)/i-((-1)i+1 (-ai aj )i)/i) 

=∑1≤i,j≤n∑i=1+∞(2ai2i-1 aj2i-1)/(2i-1)

=∑i=1+∞2/(2i-1)∙∑1≤i,j≤nai2i-1 aj2i-1

=∑i=1+∞2/(2i-1)∙(∑k=1nak2i-1 )2≥0

当且仅当

∑k=1nak2i-1 =0,i=1,2,⋯

时等号成立.

假设k∈{0,1,2,⋯},猜想(1)充要条件为

当n=2k+1时：

{ai│i=1,⋯,n}={0,b1,b2,⋯,bk,-b1,-b2,⋯,-bk}

当n=2k时：

{ai│i=1,⋯,n}={b1,b2,⋯,bk,-b1,-b2,⋯,-bk}

其中bi∈(-1,1),i=1,⋯,k.

当(2)或(3)成立时，显然有(1).下面对k作归纳：

①当k=0时，(1)可以推出(2)或(3)；

②假设当k≤m时，(1)可以推出(2)或(3)，则当k=m时，须证明对{ai}中绝对值最大的元素ap，必存在aq使得ap+aq=0，从而利用归纳假设即得猜想成立.若不然，对于

|ap |=max1≤i≤n⁡{|ai |}>0

任意q≠p，有|aq |