（1）OLS估计量依然是无偏、一致渐进的

（2）OLS估计量方差不再是 σ 2 ( X ′ X ) − 1 \sigma^2(\boldsymbol{X'X})^{-1} σ2(X′X)−1，不满足球形扰动项的假设 使用普通标准误的 t t t检验、&F&检验失效 使用稳健标准误

（3）高斯-马尔可夫定理不再成立，OLS估计量不是BLUE 加权最小二乘法是BLUE

略

1.画残差图 残差可视为扰动项的实现值，可通过残差的波动来大致考察是否存在异方差 这是最直观的方法，但不严格 2.BP检验 假设样本数据 iid 原假设为同方差 辅助回归： e i 2 = δ 1 + δ 2 x i 2 + … + δ K x i K + e r r i o r i e_i^2=\delta_1+\delta_2 x_{i2}+\ldots+\delta_K x_{iK}+errior_i ei2​=δ1​+δ2​xi2​+…+δK​xiK​+erriori​ 记此辅助回归的拟合优度为 R 2 R^2 R2. R 2 R^2 R2越高，越显著，越可以拒绝 H 0 : δ 2 = … = δ K = 0 H_0:\delta_2=\ldots=\delta_K=0 H0​:δ2​=…=δK​=0 L M LM LM统计量： L M = n R 2 ⟶ d χ 2 ( K − 1 ) LM=nR^2\stackrel{d}{\longrightarrow}\chi^2(K-1) LM=nR2⟶d​χ2(K−1) 如果 L M LM LM统计量大于 χ 2 ( K − 1 ) \chi^2(K-1) χ2(K−1)的临界值，则拒绝同方差的原假设 3.怀特检验 在BP检验的辅助回归中加入所有的二次项（含平方项与交叉项） 二元回归的怀特检验的辅助回归为 e i 2 = δ 1 + δ 2 x i 2 + δ 3 x i 3 + δ 4 x i 2 2 + δ 5 x i 3 2 + δ 6 x i 2 x i 3 + e r r o r i e_i^2=\delta_1+\delta_2 x_{i2}+\delta_3 x_{i3}+\delta_4 x_{i2}^2+\delta_5 x_{i3}^2+\delta_6 x_{i2}x_{i3}+error_i ei2​=δ1​+δ2​xi2​+δ3​xi3​+δ4​xi22​+δ5​xi32​+δ6​xi2​xi3​+errori​ 优点：它可以检验任何形式的异方差，因为根据泰勒展开式，二次函数可以很好地逼近任何光滑函数。 缺点：如果解释变量较多，则解释变量的二次项（含交叉项）将更多，在辅助回归中将损失较多样本容量。

1.使用“OLS+稳健标准误” 仍然进行OLS回归 但是使用在异方差情况下也成立的稳健标准误 这是通用的方法 2.加权最小二乘法（WLS） 方差较小的观测值包含的信息较大 给予方差较小的观测值较大的权重 然后进行加权最小二乘法估计 通过变量转换，使得变换后的模型满足球形扰动项的假定 假定 V a r ( ε i ∣ x i ) ≡ σ i 2 = σ 2 v i Var(\varepsilon_i|\boldsymbol{x_i})\equiv\sigma_i^2=\sigma^2v_i Var(εi​∣xi​)≡σi2​=σ2vi​ y i v i = β 1 1 v i + β 2 x i 2 v i + … + β L x i K v i + ε i v i \frac{y_i}{\sqrt{v_i}}=\beta_1\frac{1}{\sqrt{v_i}}+\beta_2\frac{x_{i2}}{\sqrt{v_i}}+\ldots+\beta_L\frac{x_{iK}}{\sqrt{v_i}}+\frac{\varepsilon_i}{\sqrt{v_i}} vi​ ​yi​​=β1​vi​ ​1​+β2​vi​ ​xi2​​+…+βL​vi​ ​xiK​​+vi​ ​εi​​ 对上式进行OLS回归，即为WLS 加权之后的回归方程满足球形扰动项的假定，故是BLUE。 WLS定义为最小化“加权的残差平方和” m i n ∑ i = 1 n ( e i / v i ) 2 = ∑ i = 1 n e i 2 v i min\sum\limits_{i=1}^n(e_i/\sqrt{v_i})^2=\sum\limits_{i=1}^n\frac{e_i^2}{v_i} mini=1∑n​(ei​/vi​ ​)2=i=1∑n​vi​ei2​​ 在Stata中，权重为 1 / v i 1/v_i 1/vi​，方差的倒数 3.可行加权最小二乘法（FWLS） σ i 2 \sigma_i^2 σi2​不知道，WLS不可行 怎么办？那就估计 σ i 2 \sigma_i^2 σi2​ 进行如下辅助回归 e i 2 = δ 1 + δ 2 x i 2 + … + δ K x i K + e r r i o r i e_i^2=\delta_1+\delta_2 x_{i2}+\ldots+\delta_K x_{iK}+errior_i ei2​=δ1​+δ2​xi2​+…+δK​xiK​+erriori​ 通过此辅助回归的拟合值，既可获得 σ i 2 \sigma_i^2 σi2​的估计值 σ i 2 ^ = δ 1 ^ + δ 2 ^ x i 2 + … + δ K ^ x i K \hat{\sigma_i^2}=\hat{\delta_1}+\hat{\delta_2}x_{i2}+\ldots+\hat{\delta_K}x_{iK} σi2​^​=δ1​^​+δ2​^​xi2​+…+δK​^​xiK​ 保证 σ i 2 ^ \hat{\sigma_i^2} σi2​^​为证，一般换成对数 l n e i 2 = … … lne_i^2=…… lnei2​=……(略) 然后得到的拟合值取e指数 以 1 / σ i 2 ^ 1/\hat{\sigma_i^2} 1/σi2​^​作为权重进行WLS回归

nerlove.dta

1.画残差图

拟合值较小时，扰动项的方差较大 lnq越小，扰动项的方差越大

上面两幅图，表明很可能存在异方差，即扰动项的方差随着观测值而变 2.BP检验 estat hettest,iid rhs estat：表示在完成估计后所计算的后续统计量 hettest：heteroscedasticity test iid：表示仅假定数据为iid，而无需正态假定 选择项 rhs：表示使用方程邮编的全部解释变量进行辅助回归。【没有加这个选择项默认使用拟合值进行辅助回归】

3.怀特检验 estat imtest,white 4.WLS reg y x1 x2 x3 [aw=1/var] aw表示analytical weight，为扰动项方差（而不是标准差）的倒数

OLS回归→计算残差→得到残差平方的对数→辅助回归→计算辅助回归的拟合值→去掉对数，得到方差估计值→WLS回归

略