高等数学（第七版）同济大学 习题1 |
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高等数学（第七版）同济大学 习题1
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高等数学（第七版）同济大学 习题1-3
1. 对 图 1 − 26 所 示 的 函 数 f ( x ) ， 求 下 列 极 限 ， 如 极 限 不 存 在 ， 说 明 理 由 。 \begin{aligned}&1. \ 对图1-26所示的函数f(x)，求下列极限，如极限不存在，说明理由。&\end{aligned} 1. 对图1−26所示的函数f(x)，求下列极限，如极限不存在，说明理由。
(
1
)
lim
x
→
−
2
f
(
x
)
；
(
2
)
lim
x
→
−
1
f
(
x
)
；
(
3
)
lim
x
→
0
f
(
x
)
\begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x\rightarrow -2}f(x)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x\rightarrow -1}f(x)；\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x) \\\\ & \end{aligned}
(1) x→−2limf(x)； (2) x→−1limf(x)； (3) x→0limf(x) ( 1 ) 极 限 存 在 ， lim x → − 2 f ( x ) = 0 。 ( 2 ) 极 限 存 在 ， lim x → − 1 f ( x ) = − 1 。 ( 3 ) 极 限 不 存 在 ， lim x → 0 − f ( x ) = − 1 ， lim x → 0 + f ( x ) = 1 ， 左 极 限 和 右 极 限 不 相 等 ， 所 以 极 限 不 存 在 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 极限存在，\lim_{x\rightarrow -2}f(x)=0。\\\\ &\ \ (2)\ 极限存在，\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=-1。\\\\ &\ \ (3)\ 极限不存在，\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=-1，\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=1，左极限和右极限不相等，所以极限不存在。\\\\ & \end{aligned} (1) 极限存在，x→−2limf(x)=0。 (2) 极限存在，x→−1limf(x)=−1。 (3) 极限不存在，x→0−limf(x)=−1，x→0+limf(x)=1，左极限和右极限不相等，所以极限不存在。 2. 对 图 1 − 27 所 示 的 函 数 f ( x ) ， 下 列 陈 述 中 哪 些 是 对 的 ， 哪 些 是 错 的 ？ \begin{aligned}&2. \ 对图1-27所示的函数f(x)，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ &\end{aligned} 2. 对图1−27所示的函数f(x)，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
(
1
)
lim
x
→
0
f
(
x
)
不
存
在
；
(
2
)
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
0
；
(
3
)
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
1
(
4
)
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
；
(
5
)
lim
x
→
1
f
(
x
)
不
存
在
；
(
6
)
对
每
个
x
0
∈
(
−
1
,
1
)
，
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
存
在
。
\begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x\rightarrow0}f(x)不存在；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0；\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \lim_{x\rightarrow1}f(x)=0；\\\\ &\ \ (5)\ \lim_{x\rightarrow1}f(x)不存在；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ 对每个x_0 \in (-1, \ 1)，\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)存在。\\\\ & \end{aligned}
(1) x→0limf(x)不存在； (2) x→0limf(x)=0； (3) x→0limf(x)=1 (4) x→1limf(x)=0； (5) x→1limf(x)不存在； (6) 对每个x0∈(−1, 1)，x→x0limf(x)存在。 ( 1 ) 错 ， 极 限 存 在 ， lim x → 0 f ( x ) = 0 。 ( 2 ) 对 。 ( 3 ) 错 ， 极 限 为 0 。 ( 4 ) 错 ， 极 限 不 存 在 ， lim x → 1 − f ( x ) = − 1 ， lim x → 1 + f ( x ) = 1 ， 左 右 极 限 不 相 等 ， 所 以 极 限 不 存 在 。 ( 5 ) 对 。 ( 6 ) 对 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 错，极限存在，\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0。\\\\ &\ \ (2)\ 对。\\\\ &\ \ (3)\ 错，极限为0。\\\\ &\ \ (4)\ 错，极限不存在，\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=-1，\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=1，左右极限不相等，所以极限不存在。\\\\ &\ \ (5)\ 对。\\\\ &\ \ (6)\ 对。\\\\ & \end{aligned} (1) 错，极限存在，x→0limf(x)=0。 (2) 对。 (3) 错，极限为0。 (4) 错，极限不存在，x→1−limf(x)=−1，x→1+limf(x)=1，左右极限不相等，所以极限不存在。 (5) 对。 (6) 对。 3. 对 图 1 − 28 所 示 的 函 数 ， 下 列 陈 述 中 哪 些 是 对 的 ， 哪 些 是 错 的 ？ \begin{aligned}&3. \ 对图1-28所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ &\end{aligned} 3. 对图1−28所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
(
1
)
lim
x
→
−
1
+
f
(
x
)
=
1
；
(
2
)
lim
x
→
−
1
−
f
(
x
)
不
存
在
；
(
3
)
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
0
(
4
)
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
1
；
(
5
)
lim
x
→
1
−
f
(
x
)
=
1
；
(
6
)
lim
x
→
1
+
f
(
x
)
=
0
；
(
7
)
lim
x
→
2
−
f
(
x
)
=
0
；
(
8
)
lim
x
→
2
f
(
x
)
=
0
；
\begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x\rightarrow-1^+}f(x)=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x\rightarrow -1^-}f(x)不存在；\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \lim_{x\rightarrow0}f(x)=1；\\\\ &\ \ (5)\ \lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \lim_{x \rightarrow1^+}f(x)=0；\\\\ &\ \ (7)\ \lim_{x\rightarrow2^-}f(x)=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \lim_{x \rightarrow2}f(x)=0；\\\\ & \end{aligned}
(1) x→−1+limf(x)=1； (2) x→−1−limf(x)不存在； (3) x→0limf(x)=0 (4) x→0limf(x)=1； (5) x→1−limf(x)=1； (6) x→1+limf(x)=0； (7) x→2−limf(x)=0； (8) x→2limf(x)=0； ( 1 ) 对 。 ( 2 ) 对 。 ( 3 ) 对 。 ( 4 ) 错 。 lim x → 0 f ( x ) = 0 ， 而 f ( 0 ) = 1 。 ( 5 ) 对 。 ( 6 ) 对 。 ( 7 ) 对 。 ( 8 ) 错 。 lim x → 2 − f ( x ) = 0 ， lim x → 2 + f ( x ) 不 存 在 ， 所 以 极 限 不 存 在 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 对。\\\\ &\ \ (2)\ 对。\\\\ &\ \ (3)\ 对。\\\\ &\ \ (4)\ 错。\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0，而f(0)=1。\\\\ &\ \ (5)\ 对。\\\\ &\ \ (6)\ 对。\\\\ &\ \ (7)\ 对。\\\\ &\ \ (8)\ 错。\lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=0，\lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)不存在，所以极限不存在。\\\\ & \end{aligned} (1) 对。 (2) 对。 (3) 对。 (4) 错。x→0limf(x)=0，而f(0)=1。 (5) 对。 (6) 对。 (7) 对。 (8) 错。x→2−limf(x)=0，x→2+limf(x)不存在，所以极限不存在。 4. 求 f ( x ) − x x ， φ ( x ) = ∣ x ∣ x 当 x → 0 时 的 左 、 右 极 限 ， 并 说 明 它 们 在 x → 0 时 的 极 限 是 否 存 在 \begin{aligned}&4. \ 求f(x)-\frac{x}{x}，\varphi(x)=\frac{|x|}{x}当x\rightarrow0时的左、右极限，并说明它们在x\rightarrow0时的极限是否存在&\end{aligned} 4. 求f(x)−xx，φ(x)=x∣x∣当x→0时的左、右极限，并说明它们在x→0时的极限是否存在 解：lim x → 0 − f ( x ) = x x = 1 ， lim x → 0 + f ( x ) = x x = 1 ， 因 为 lim x → 0 − f ( x ) = lim x → 0 + f ( x ) ， 所 以 lim x → 0 f ( x ) = 1 。 lim x → 0 − φ ( x ) = − x x = − 1 ， lim x → 0 + φ ( x ) = x x = 1 ， 因 为 lim x → 0 − φ ( x ) ≠ lim x → 0 + φ ( x ) ， 所 以 lim x → 0 φ ( x ) 的 极 限 不 存 在 。 \begin{aligned} &\ \ \lim_{x \rightarrow 0^-}f(x)=\frac{x}{x}=1，\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=\frac{x}{x}=1，因为\lim_{x \rightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)，所以\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=1。\\\\ &\ \ \lim_{x \rightarrow 0^-}\varphi(x)=\frac{-x}{x}=-1，\lim_{x \rightarrow 0^+}\varphi(x)=\frac{x}{x}=1，因为\lim_{x \rightarrow 0^-}\varphi(x) \neq \lim_{x \rightarrow 0^+}\varphi(x)，所以\lim_{x \rightarrow 0}\varphi(x)的极限不存在。\\\\ & \end{aligned} x→0−limf(x)=xx=1，x→0+limf(x)=xx=1，因为x→0−limf(x)=x→0+limf(x)，所以x→0limf(x)=1。 x→0−limφ(x)=x−x=−1，x→0+limφ(x)=xx=1，因为x→0−limφ(x)=x→0+limφ(x)，所以x→0limφ(x)的极限不存在。 5. 根 据 函 数 极 限 的 定 义 证 明 ： \begin{aligned}&5. \ 根据函数极限的定义证明：&\end{aligned} 5. 根据函数极限的定义证明：( 1 ) lim x → 3 ( 3 x − 1 ) = 8 ； ( 2 ) lim x → 2 ( 5 x + 2 ) = 12 ； ( 3 ) lim x → − 2 x 2 − 4 x + 2 = − 4 ； ( 4 ) lim x → 1 2 1 − 4 x 2 2 x + 1 = 2 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x \rightarrow 3}(3x-1)=8；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x \rightarrow 2}(5x+2)=12；\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x \rightarrow -2}\frac{x^2-4}{x+2}=-4； \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}}\frac{1-4x^2}{2x+1}=2\\\\ & \end{aligned} (1) x→3lim(3x−1)=8； (2) x→2lim(5x+2)=12； (3) x→−2limx+2x2−4=−4； (4) x→21lim2x+11−4x2=2 解：( 1 ) 因 为 ∣ ( 3 x − 1 ) − 8 ∣ = ∣ 3 x − 9 ∣ = 3 ∣ x − 3 ∣ ， 要 使 ∣ ( 3 x − 1 ) − 8 ∣ < ε ， 只 要 ∣ x − 3 ∣ < ε 3 ， 所 以 ∀ ε > 0 ， 取 δ = ε 3 ， 则 当 0 < ∣ x − 3 ∣ < δ 时 ， 就 有 ∣ ( 3 x − 1 ) − 8 ∣ < ε ， 即 lim x → 3 ( 3 x − 1 ) = 8 。 ( 2 ) 因 为 ∣ ( 5 x + 2 ) − 12 ∣ = ∣ 5 x − 10 ∣ = 5 ∣ x − 2 ∣ ， 要 使 ∣ ( 5 x + 2 ) − 12 ∣ < ε ， 只 要 ∣ x − 2 ∣ < ε 5 ， 所 以 ∀ ε > 0 ， 取 δ = ε 5 ， 则 当 0 < ∣ x − 2 ∣ < δ 时 ， 就 有 ∣ ( 5 x + 2 ) − 12 ∣ < ε ， 即 lim x → 2 ( 5 x + 2 ) = 12 ( 3 ) 因 为 x → − 2 ， x ≠ − 2 ， ∣ x 2 − 4 x + 2 − ( − 4 ) ∣ = ∣ ( x + 2 ) 2 x + 2 ∣ = ∣ x − ( − 2 ) ∣ ， 要 使 ∣ x 2 − 4 x + 2 − ( − 4 ) ∣ < ε ， 只 要 ∣ x − ( − 2 ) ∣ < ε ， 所 以 ∀ ε > 0 ， 取 δ = ε ， 则 当 0 < ∣ x − ( − 2 ) ∣ < δ 时 ， 就 有 ∣ x 2 − 4 x + 2 − ( − 4 ) ∣ < ε ， 即 lim x → − 2 x 2 − 4 x + 2 = − 4 。 ( 4 ) 因 为 x → − 1 2 ， x ≠ − 1 2 ， ∣ 1 − 4 x 2 2 x + 1 − 2 ∣ = ∣ 1 − 2 x − 2 ∣ = 2 ∣ x − ( − 1 2 ) ∣ ， 要 使 ∣ 1 − 4 x 2 2 x + 1 − 2 ∣ < ε ， 只 要 ∣ x − ( − 1 2 ) ∣ < ε 2 ， 所 以 ∀ ε > 0 ， 取 δ = ε 2 ， 则 当 0 < ∣ x − ( − 1 2 ) ∣ < δ 时 ， 就 有 ∣ 1 − 4 x 2 2 x + 1 − 2 ∣ < ε ， 即 lim x → 1 2 1 − 4 x 2 2 x + 1 = 2 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|，要使|(3x-1)-8| \lt \varepsilon，只要|x-3| \lt \frac{\varepsilon}{3}，所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\frac{\varepsilon}{3}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则当0 \lt |x-3| \lt \delta时，就有|(3x-1)-8| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow 3}(3x-1)=8。\\\\ &\ \ (2)\ 因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|，要使|(5x+2)-12| \lt \varepsilon，只要|x-2| \lt \frac{\varepsilon}{5}，所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\frac{\varepsilon}{5}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则当0 \lt |x-2| \lt \delta时，就有|(5x+2)-12| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow 2}(5x+2)=12\\\\ &\ \ (3)\ 因为x \rightarrow -2，x \neq -2，\left|\frac{x^2-4}{x+2}-(-4)\right|=\left|\frac{(x+2)^2}{x+2}\right|=|x-(-2)|，要使\left|\frac{x^2-4}{x+2}-(-4)\right| \lt \varepsilon，只要|x-(-2)| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\varepsilon，则当0 \lt |x-(-2)| \lt \delta时，就有\left|\frac{x^2-4}{x+2}-(-4)\right| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow -2}\frac{x^2-4}{x+2}=-4。\\\\ &\ \ (4)\ 因为x \rightarrow -\frac{1}{2}，x \neq -\frac{1}{2}，\left|\frac{1-4x^2}{2x+1}-2\right|=|1-2x-2|=2\left|x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|，要使\left|\frac{1-4x^2}{2x+1}-2\right| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 只要\left|x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}，所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\frac{\varepsilon}{2}，则当0 \lt \left|x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right| \lt \delta时，就有\left|\frac{1-4x^2}{2x+1}-2\right| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}}\frac{1-4x^2}{2x+1}=2。\\\\ & \end{aligned} (1) 因为∣(3x−1)−8∣=∣3x−9∣=3∣x−3∣，要使∣(3x−1)−8∣δ1， δ2}，则当0 X 时 ， 就 有 ∣ f ( x ) − A ∣ < 1 ， 从 而 ∣ f ( x ) ∣ ≤ ∣ f ( x ) − A ∣ + ∣ A ∣ < 1 + ∣ A ∣ ， 取 M = ∣ A ∣ + 1 ， 即 有 当 ∣ x ∣ > X 时 ， ∣ f ( x ) ∣ ≤ M 。 \begin{aligned} &\ \ 因为\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=A，所以对\varepsilon=1 \gt 0，\exists \ X \gt 0，当|x| \gt X时，就有|f(x)-A| \lt 1，\\\\ &\ \ 从而|f(x)| \le |f(x)-A|+|A| \lt 1+|A|，取M=|A|+1，即有当|x| \gt X时，|f(x)| \le M。\\\\ & \end{aligned} 因为x→∞limf(x)=A，所以对ε=1>0，∃ X>0，当∣x∣>X时，就有∣f(x)−A∣ |
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