设 F ( x ) = f ( x ) − x ， 则 F ( 0 ) = f ( 0 ) − 0 ≥ 0 ， F ( 1 ) = f ( 1 ) − 1 ≤ 0    如 果 F ( 0 ) = 0 或 F ( 1 ) = 0 ， 则 0 或 1 即 为 f ( x ) 的 不 动 点 ， 如 果 F ( 0 ) > 0 且 F ( 1 ) < 0 ， 则 由 零 点 定 理 ，    得 出 必 存 在 c ∈ ( 0 ,   1 ) ， 使 F ( c ) = f ( c ) − c = 0 ， 即 f ( c ) = c ， c 为 f ( x ) 的 不 动 点 。 \begin{aligned} &\ \ 设F(x)=f(x)-x，则F(0)=f(0)-0 \ge 0，F(1)=f(1)-1 \le 0\\\\ &\ \ 如果F(0)=0或F(1)=0，则0或1即为f(x)的不动点，如果F(0) \gt 0且F(1) \lt 0，则由零点定理，\\\\ &\ \ 得出必存在c \in (0, \ 1)，使F(c)=f(c)-c=0，即f(c)=c，c为f(x)的不动点。 & \end{aligned} ​  设F(x)=f(x)−x，则F(0)=f(0)−0≥0，F(1)=f(1)−1≤0  如果F(0)=0或F(1)=0，则0或1即为f(x)的不动点，如果F(0)>0且F(1) 0 。    由 零 点 定 理 ， 得 出 ∃   ξ ∈ ( 1 ,   2 ) ， 使 f ( ξ ) = 0 ， ξ 是 介 于 1 和 2 之 间 的 方 程 的 根 。 \begin{aligned} &\ \ 设f(x)=x^5-3x-1，则f(x)在闭区间[1, \ 2]上连续，且f(1)=-3 \lt 0，f(2)=25 \gt 0。\\\\ &\ \ 由零点定理，得出\exists\ \xi \in (1, \ 2)，使f(\xi)=0，\xi是介于1和2之间的方程的根。 & \end{aligned} ​  设f(x)=x5−3x−1，则f(x)在闭区间[1, 2]上连续，且f(1)=−30。  由零点定理，得出∃ ξ∈(1, 2)，使f(ξ)=0，ξ是介于1和2之间的方程的根。​​

   设 f ( x ) = x − a   s i n   x − b ， 则 f ( x ) 在 闭 区 间 [ 0 ,   a + b ] 上 连 续 ， 且 f ( 0 ) = − b < 0 ， f ( a + b ) = a [ 1 − s i n   ( a + b ) ] ，    当 s i n   ( a + b ) < 1 时 ， f ( a + b ) > 0 ， 由 零 点 定 理 ， 得 出 ∃   ξ ∈ ( 0 ,   a + b ) ， 使 f ( ξ ) = 0 ， 即 ξ 为 方 程 的 根 ，    是 正 根 并 且 不 超 过 a + b ， 当 s i n   ( a + b ) = 1 时 ， f ( a + b ) = 0 ， a + b 是 满 足 条 件 的 正 根 。 \begin{aligned} &\ \ 设f(x)=x-a\ sin\ x -b，则f(x)在闭区间[0, \ a+b]上连续，且f(0)=-b \lt 0，f(a+b)=a[1-sin\ (a+b)]，\\\\ &\ \ 当sin\ (a+b) \lt 1时，f(a+b) \gt 0，由零点定理，得出\exists\ \xi \in (0, \ a+b)，使f(\xi)=0，即\xi为方程的根，\\\\ &\ \ 是正根并且不超过a+b，当sin\ (a+b)=1时，f(a+b)=0，a+b是满足条件的正根。 & \end{aligned} ​  设f(x)=x−a sin x−b，则f(x)在闭区间[0, a+b]上连续，且f(0)=−bX时，  有∣f(x)−A∣