微分中值定理之罗尔中值定理

函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续，在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)内可导， f ( 0 ) = e , f ( 1 ) = 1 f(0)=e,f(1)=1 f(0)=e,f(1)=1， 求证： ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist\xi \in (0,1) ∃ξ∈(0,1)使得 f ( ξ ) + f ′ ( ξ ) = 0 f(\xi)+f'(\xi)=0 f(ξ)+f′(ξ)=0。

解： \qquad 令 F ( x ) = e x f ( x ) F(x)=e^xf(x) F(x)=exf(x)

F ( 0 ) = e 0 f ( 0 ) = e , F ( 1 ) = e 1 f ( 1 ) = e \qquad F(0)=e^0f(0)=e,F(1)=e^1f(1)=e F(0)=e0f(0)=e,F(1)=e1f(1)=e

∵ F ( x ) \qquad \because F(x) ∵F(x)在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续，在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)内可导， F ( 0 ) = F ( 1 ) = e F(0)=F(1)=e F(0)=F(1)=e

∴ \qquad \therefore ∴由罗尔定理， ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist \xi \in(0,1) ∃ξ∈(0,1)，使 F ′ ( ξ ) = 0 F'(\xi)=0 F′(ξ)=0

\qquad 即 e ξ f ( ξ ) + e ξ f ′ ( ξ ) = 0 e^\xi f(\xi)+e^\xi f'(\xi)=0 eξf(ξ)+eξf′(ξ)=0

∵ \qquad \because ∵当 ξ ∈ ( 0 , 1 ) \xi\in (0,1) ξ∈(0,1)时， e ξ > 0 e^\xi >0 eξ>0

∴ f ( ξ ) + f ′ ( ξ ) = 0 \qquad \therefore f(\xi)+f'(\xi)=0 ∴f(ξ)+f′(ξ)=0

\qquad 得证 ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist\xi \in (0,1) ∃ξ∈(0,1)使得 f ( ξ ) + f ′ ( ξ ) = 0 f(\xi)+f'(\xi)=0 f(ξ)+f′(ξ)=0

函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续，在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)内可导， f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f(1)=0， 求证： ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist\xi \in (0,1) ∃ξ∈(0,1)使得 2 f ( ξ ) + ξ f ′ ( ξ ) = 0 2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0 2f(ξ)+ξf′(ξ)=0。

解： \qquad 令 F ( x ) = x 2 f ( x ) F(x)=x^2f(x) F(x)=x2f(x)

F ( 0 ) = 0 × f ( 0 ) = 0 , F ( 1 ) = 1 × f ( 1 ) = 0 \qquad F(0)=0\times f(0)=0,F(1)=1\times f(1)=0 F(0)=0×f(0)=0,F(1)=1×f(1)=0

∵ F ( x ) \qquad \because F(x) ∵F(x)在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续，在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)内可导， F ( 0 ) = F ( 1 ) = 0 F(0)=F(1)=0 F(0)=F(1)=0

∴ \qquad \therefore ∴由罗尔定理， ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist \xi\in(0,1) ∃ξ∈(0,1)，使 F ′ ( ξ ) = 0 F'(\xi)=0 F′(ξ)=0

\qquad 即 2 ξ f ( ξ ) + ξ 2 f ′ ( ξ ) = 0 2\xi f(\xi)+\xi^2f'(\xi)=0 2ξf(ξ)+ξ2f′(ξ)=0

∵ \qquad \because ∵当 ξ ∈ ( 0 , 1 ) \xi\in(0,1) ξ∈(0,1)时， ξ > 0 \xi>0 ξ>0

∴ 2 f ( ξ ) + ξ f ′ ( ξ ) = 0 \qquad \therefore 2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0 ∴2f(ξ)+ξf′(ξ)=0

\qquad 得证 ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist\xi \in (0,1) ∃ξ∈(0,1)使得 2 f ( ξ ) + ξ f ′ ( ξ ) = 0 2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0 2f(ξ)+ξf′(ξ)=0

当题目给出 f ( x ) f(x) f(x)的若干个值 f ( x 1 ) , f ( x 2 ) … f(x_1),f(x_2)\dots f(x1​),f(x2​)…，并求证一个由 ξ , f ( ξ ) , f ′ ( ξ ) \xi,f(\xi),f'(\xi) ξ,f(ξ),f′(ξ)组成的式子为零时，我们可以考虑构造一个函数 F ( x ) F(x) F(x)，根据罗尔定理得出 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exist \xi\in(a,b) ∃ξ∈(a,b)使得 F ′ ( ξ ) = 0 F'(\xi)=0 F′(ξ)=0，然后整理一下式子即可得证。