若\(y=f(x)\)在\([a , b]\)上连续 , 则\(y\)在\([a , b]\)上总有最大值和最小值.

若\(y=f(x)\)在\([a , b]\)连续 , 且\(f(a)\)和\(f(b)\)异号 , 即\(f(a)\cdot f(b)0 , b>0) \]

\[ 至少有一个正根 , 且它不超过a+b \]

证明 : \[ 令F(x)=x-a\sin x -b , 则F(x)在[0 , a+b]上连续 \]

\[ F(0)=0-a\sin 0-b=-b0 , 在(0 , a+b)内至少存在一个不超过(a+b)的正根 \]

例如 : \[ 证明y=x^4-3x^2+7x-10在x=1和x=2之间至少与x轴有一个交点 \] 这道题也是很明显需要使用零点定理 , 因为也相当于是证明有根问题.

证明 : \[ 函数y=x^4-3x^2+7x-10在[1 , 2]上连续 \]

\[ y(1)=-50 \]

\[ 由零点定理可知 , 至少存在一点\xi\in(1 , 2)使y(\xi)=0 \]

\[ \therefore y=x^4-3x^2+7x-10在x=1和x=2之间至少与x轴有一个交点 \]

换另一种问法 , 也得意识到需要用零点定理来解决.

例如 : \[ 设f(x)=e^x-2 , 求证在区间(0 , 2)内至少有一点x_0 \]

\[ 使得e^x-2=x_0 \]

证明 : \[ 令F(x)=e^x-2-x , 则F(x)在[0 , 2]上连续 \]

\[ F(0)=-10 \]

\[ 由零点定理可知 , 至少存在一点x_0\in(1 , 2)使F(x_0)=0 \]

\[ 即e^{x_0}-2=x_0 \]

下面这一段内容 , 到了后面学了罗尔定理才用得上 , 可以先跳过 , 学到了罗尔定理才回来看.

如何分辨证明题要用零点定理还是罗尔定理来证明?

零点定理和后面学到的罗尔定理都是证明关于\(\xi\)为零的 , 所以尤其困难的一点是如何分辨一道题该用零点定理还是罗尔定理去解决.

判断的方法是 :

看已知函数和结论函数之间有没有导数的增加 , 例如 :

都属于有导数的增加 , 都使用罗尔定理.

而

都没有导数的增加 , 都使用零点定理.

若\(y=f(x)\)在\([a , b]\)连续 , 且在区间端点取不同的函数值\(f(a)=A , f(b)=B\) , 则对于\(A\)与\(B\)之间的任意一个数\(U\) , 在开区间\((a , b)\)内至少有一个点\(c\)使得\(f(c)=U\).

介值定理是用来解决证明关于\(\xi\)不为零的题目 , 这里的关于\(\xi\)不为零与零点定理做比较就能理解 , 首先关于\(\xi\)这三个字上面已经解释过了 , 这里的不为零的意思是函数的右边是一坨与\(\xi\)无关的式子 , 而且无法与\(\xi\)融合的东西 , 例如 : \[ f\left(\xi\right)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}n \]

这样的函数 , 右边完全没有\(\xi\) , 也不是常数 , 也不能移项 , 也不能够与\(f(\xi)\)融合 , 与\(\xi\)符号毫无关系 , 这样的题目 , 就是用介值定理来解决.

介值定理证明题的解题步骤 , 基本也分为3步 :

整个过程看似很简单 , 但是到底是如何得到结论的 , 可以回顾一下介值定理的内容 :

若\(y=f(x)\)在\([a , b]\)连续 , 且在区间端点取不同的函数值\(f(a)=A , f(b)=B\) , 则对于\(A\)与\(B\)之间的任意一个数\(U\) , 在开区间\((a , b)\)内至少有一个点\(c\)使得\(f(c)=U\).

介值定理说 , 在\(A\)与\(B\)之间的任意一个\(U\) , 在开区间\((a , b)\)之内都一定会有一个\(c\)使得\(f(c)=U\).

因此假设想要使用介值定理 , 就必须构造出介值定理所需要的东西 , 只要这些东西都齐全了 , 就可以使用介值定理了 :

\(f(a)=A , f(b)=B\) , 对应上面步骤的最小值\(m\)和最大值\(M\) , 因为由最值定理得知 , 每一个函数在\([a , b]\)内必有最大值或者最小值 , 所以我们通过拿一个一定存在的最小值\(m\)和最大值\(M\) , 代替了\(f(a)=A , f(b)=B\).

第二步 , 只要用待证明的等式右边构造出一个\(m\leq 等式右边\leq M\) , 那这个格式刚好就对应介值定理里面 :

对于\(A\)与\(B\)之间的任意一个数\(U\)

这个格式.

上面两步 , 就满足了构造出介值定理所需要的东西 , 所以就可以得到介值定理的结论 :

一定存在一个点\(\xi\) , 使得\(f(\xi)=U\)

例如 : \[ 证明若f(x)在[a , b]上连续 , a