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【集合论】等价关系个数计算问题 ( 有序对个数计算

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【集合论】等价关系个数计算问题 ( 有序对个数计算

2024-07-06 13:10| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录 等价关系与划分对应问题第二类斯特林数计算公式4元集等价关系计算6元集等价关系计算

等价关系与划分对应问题

等价关系 与 划分 计算 :

1.等价关于 与 划分 一一对应 : 非空集合 A A A 上的等价关系 与 A A A 上的划分是 一一对应 的 ; ( A A A 上有多少个 不同的 等价关系 , 就产生同样个数的不同的划分 )2.数学模型 : 将 n n n 个不同的球 , 放入 r r r 个相同的盒子中 , 并且不能出现空盒 , n ≥ r n \geq r n≥r ; 不同的放球方法对应不同的划分数 ;3.第二类 Stirling 数 : 将 n n n 个不同的球, 放入 r r r 个相同的盒子中 , 方案数记做 S ( n , r ) S(n,r) S(n,r) , 或 { n r } \begin{Bmatrix} n \\ r \end{Bmatrix} {nr​} ; 第二类斯特林数计算公式

第二类 Stirling 数计算方法 :

1.Stirling 数计算公式 : ① S ( n , 0 ) = 0 S(n,0) = 0 S(n,0)=0② S ( n , 1 ) = 1 S(n,1) = 1 S(n,1)=1③ S ( n , 2 ) = 2 n − 1 − 1 S(n,2) = 2^{n-1} - 1 S(n,2)=2n−1−1④ S ( n , n − 1 ) = C ( n , 2 ) S(n,n-1) = C(n, 2) S(n,n−1)=C(n,2)⑤ S ( n , n ) = 1 S(n,n) = 1 S(n,n)=1 2.Stirling 数递推公式 : S ( n , r ) = r S ( n − 1 , r ) + S ( n − 1 , r − 1 ) S(n,r) = rS(n-1, r) + S(n-1, r-1) S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1) 4元集等价关系计算

题目 : 等价关系

条件 : 集合 A = { a , b , c , d } A = \{a,b,c,d\} A={a,b,c,d} ;问题 : 上述集合有多少等价关系 ;

解答 :

分析 :

1.有序对个数 : 集合 A A A 上有 4 × 4 = 16 4 \times 4 = 16 4×4=16 个有序对 ;

2.二元关系个数 : 集合 A A A 上的 二元关系 个数 是 2 有 序 对 个 数 = 2 16 2^{有序对个数} = 2^{16} 2有序对个数=216 个 ;

① 公式推演 : 每个二元关系有 0 0 0 到 16 16 16 个不等的有序对个数 , 分别统计 有 0 0 0 个有序对 , 1 1 1 个有序对 , 2 2 2 个有序对 , ⋯ \cdots ⋯ , 16 16 16 个有序对的 情况 ;② 计算过程 : C ( 16 , 0 ) + C ( 16 , 1 ) + C ( 16 , 2 ) + ⋯ + C ( 16 , 16 ) = 2 16 C(16, 0) + C(16, 1) + C(16,2) + \cdots + C(16, 16) = 2^{16} C(16,0)+C(16,1)+C(16,2)+⋯+C(16,16)=216 ;

3.无法直接得出等价关系数 : A A A 上有 2 16 2^{16} 216 个二元关系 , 逐个验证 等价关系 要求的 自反 , 对称 , 传递 性质 , 肯定行不通 , 计算量巨大 ;

4.求划分个数 : 集合 A A A 的 等价关系个数 与 划分个数 是一一对应的 , 因此求其划分个数即可 ;

分步求解 :

① 使用 第二类 Stirling 求其不同的划分个数 : S ( 4 , 1 ) + S ( 4 , 2 ) + S ( 4 , 3 ) + S ( 4 , 4 ) S(4, 1) + S(4, 2) + S(4, 3) + S(4, 4) S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)

② 根据公式 : S ( n , 1 ) = 1 S(n,1) = 1 S(n,1)=1 , 计算 Stirling 数的值 : S ( 4 , 1 ) = 1 S(4, 1) = 1 S(4,1)=1

③ 根据公式 : S ( n , 2 ) = 2 n − 1 − 1 S(n,2) = 2^{n-1} - 1 S(n,2)=2n−1−1 , 计算 Stirling 数的值 : S ( 4 , 2 ) = 2 4 − 1 − 1 = 2 3 − 1 = 7 S(4, 2) = 2^{4 - 1} - 1 = 2^3 -1=7 S(4,2)=24−1−1=23−1=7

④ 根据公式1 : S ( n , n − 1 ) = C ( n , 2 ) S(n,n-1) = C(n, 2) S(n,n−1)=C(n,2) ( Stirling 数计算公式 ) , 根据公式2 : C ( n , r ) = n ! ( n − r ) ! r ! C(n, r) = \cfrac{n!}{(n-r)!r!} C(n,r)=(n−r)!r!n!​ , 计算 Stirling 数的值 : S ( 4 , 2 ) = C ( 4 , 2 ) = ( 4 2 ) = 4 ! ( 4 − 2 ) ! 2 ! = 4 × 3 × 2 × 1 2 × 2 = 6 S(4, 2) = C(4,2) =\dbinom{4}{2} =\cfrac{4!}{(4-2)!2!} = \cfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 2} = 6 S(4,2)=C(4,2)=(24​)=(4−2)!2!4!​=2×24×3×2×1​=6

⑤ 根据公式 : S ( n , n ) = 1 S(n,n) = 1 S(n,n)=1 , 计算 Stirling 数的值 : S ( 4 , 4 ) = 1 S(4, 4) = 1 S(4,4)=1

⑥ 最终划分结果 : A A A 上有 15 个划分 ; S ( 4 , 1 ) + S ( 4 , 2 ) + S ( 4 , 3 ) + S ( 4 , 4 ) = 1 + 7 + 6 + 1 = 15 S(4, 1) + S(4, 2) + S(4, 3) + S(4, 4) = 1 + 7 + 6 + 1 = 15 S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=1+7+6+1=15

6元集等价关系计算

题目 :

条件 : A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A=\{1,2,3,4,5,6\} A={1,2,3,4,5,6}问题 : 计算 A A A上的 二元关系 的 个数 和 A A A 上等价关系的个数 ;

解答 :

二元关系个数 :

1> 集合元素个数 : 集合 A A A 中有 6 6 6 个元素 , ∣ A ∣ = 6 |A| = 6 ∣A∣=6 ;2> 有序对个数 : ∣ A ∣ × ∣ A ∣ = 6 × 6 = 36 |A| \times |A| = 6 \times 6 = 36 ∣A∣×∣A∣=6×6=36 ;3> 二元关系个数 : ① 推演过程 : 二元关系 包含 0 0 0 到 36 36 36 不等的有序对 , 那么需要考虑以上所有情况 , 分别统计 有 0 0 0 个有序对 , 1 1 1 个有序对 , 2 2 2 个有序对 , ⋯ \cdots ⋯ , 36 36 36 个有序对的 情况 ;② 计算公式 : C ( 36 , 0 ) + C ( 36 , 1 ) + C ( 36 , 2 ) + ⋯ + C ( 36 , 36 ) = 2 36 C(36, 0) + C(36, 1) + C(36,2) + \cdots + C(36, 36) = 2^{36} C(36,0)+C(36,1)+C(36,2)+⋯+C(36,36)=236

等价关系个数 :

1> 一一对应 : 等价关系的个数 与 集合的划分数 是一一对应的 ,2> 进行划分 : 将 集合 A A A 划分成 1 1 1 块 , 2 2 2 块, 3 3 3 块, 4 4 4 块, 5 5 5 块, 6 6 6 块 ;3>写出对应式子 : 集合的划分数为 S ( 6 , 1 ) + S ( 6 , 2 ) + S ( 6 , 3 ) + S ( 6 , 4 ) + S ( 6 , 5 ) + S ( 6 , 6 ) S(6, 1) + S(6, 2) + S(6, 3) + S(6, 4) + S(6, 5) + S(6, 6) S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)

逐个求出 S ( 6 , 1 ) + S ( 6 , 2 ) + S ( 6 , 3 ) + S ( 6 , 4 ) + S ( 6 , 5 ) + S ( 6 , 6 ) S(6, 1) + S(6, 2) + S(6, 3) + S(6, 4) + S(6, 5) + S(6, 6) S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6) 每个 Stirling 数的值 ;

① 根据公式 : S ( n , 1 ) = 1 S(n,1) = 1 S(n,1)=1 , 计算 Stirling 数的值 : S ( 6 , 1 ) = 1 S(6, 1) = 1 S(6,1)=1

② 根据公式 : S ( n , 2 ) = 2 n − 1 − 1 S(n,2) = 2^{n-1} - 1 S(n,2)=2n−1−1 , 计算 Stirling 数的值 : S ( 6 , 2 ) = 2 6 − 1 − 1 = 2 5 − 1 = 32 − 1 = 31 S(6, 2) = 2^{6-1} - 1 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31 S(6,2)=26−1−1=25−1=32−1=31

③ 根据递推公式 : S ( n , r ) = r S ( n − 1 , r ) + S ( n − 1 , r − 1 ) S(n,r) = rS(n-1, r) + S(n-1, r-1) S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1) , 计算 Stirling 数的值 : S ( 6 , 3 ) = 3 S ( 5 , 3 ) + S ( 5 , 2 ) S(6, 3) = 3S(5,3) + S(5,2) S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)

拆分成下面两部 进行计算 :

( 1 ) 先计算 S ( 5 , 3 ) = 3 S ( 4 , 3 ) + S ( 4 , 2 ) S(5, 3) = 3S(4,3) + S(4,2) S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)

1> 其中 使用公式 S ( n , n − 1 ) = C ( n , 2 ) S(n, n-1) = C(n,2) S(n,n−1)=C(n,2) 计算 S ( 4 , 3 ) S(4,3) S(4,3) : S ( 4 , 3 ) = C ( 4 , 2 ) = ( 4 2 ) = 4 ! ( 4 − 2 ) ! × 2 ! = 4 × 3 × 2 × 1 2 × 2 = 6 S(4,3) = C(4,2) = \dbinom{4}{2} = \cfrac{4!}{(4-2)! \times 2!} = \cfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 2} = 6 S(4,3)=C(4,2)=(24​)=(4−2)!×2!4!​=2×24×3×2×1​=6 2> 使用公式 S ( n , 2 ) = 2 n − 1 − 1 S(n, 2) = 2^{n-1} - 1 S(n,2)=2n−1−1 计算 S ( 4 , 2 ) S(4,2) S(4,2) : S ( 4 , 2 ) = 2 4 − 1 − 1 = 7 S(4,2) = 2^{4-1} - 1 = 7 S(4,2)=24−1−1=7 3> S ( 5 , 3 ) S(5, 3) S(5,3) 结果 : S ( 5 , 3 ) = 3 S ( 4 , 3 ) + S ( 4 , 2 ) = 3 × 6 + 7 = 25 S(5, 3) = 3S(4,3) + S(4,2) =3\times 6 + 7 =25 S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)=3×6+7=25

( 2 ) 在计算 S ( 5 , 2 ) S(5,2) S(5,2) 的结果 , 使用公式 S ( n , 2 ) = 2 n − 1 − 1 S(n, 2) = 2^{n-1} - 1 S(n,2)=2n−1−1 进行计算 : S ( 5 , 2 ) = 2 5 − 1 − 1 = 15 S(5, 2) = 2^{5-1} - 1 =15 S(5,2)=25−1−1=15

( 3 ) 最终结果 : S ( 6 , 3 ) = 3 S ( 5 , 3 ) + S ( 5 , 2 ) = 3 × 25 + 15 = 90 S(6, 3) = 3S(5,3) + S(5,2) = 3\times25 + 15 =90 S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)=3×25+15=90

④ 根据递推公式 : S ( n , r ) = r S ( n − 1 , r ) + S ( n − 1 , r − 1 ) S(n,r) = rS(n-1, r) + S(n-1, r-1) S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1) , 计算 Stirling 数的值 : S ( 6 , 4 ) = 4 S ( 5 , 4 ) + S ( 5 , 3 ) = 4 × C ( 5 , 2 ) + 25 = 4 × 5 ! 3 ! × 2 ! + 25 = 4 × 5 × 4 × 3 × 2 3 × 2 × 2 + 25 = 65 S(6, 4) = 4S(5,4) + S(5,3) = 4\times C(5,2) + 25 = 4\times \cfrac{5!}{3!\times2!}+25 = 4\times \cfrac{5\times4\times3\times2}{3\times2\times2}+25=65 S(6,4)=4S(5,4)+S(5,3)=4×C(5,2)+25=4×3!×2!5!​+25=4×3×2×25×4×3×2​+25=65

⑤ 根据公式 : S ( n , n − 1 ) = C ( n , 2 ) S(n, n-1)= C(n,2) S(n,n−1)=C(n,2) , 计算 S ( 6 , 5 ) S(6,5) S(6,5) : S ( 6 , 5 ) = C ( 6 , 2 ) = 6 ! ( 6 − 2 ) ! × 2 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 4 × 3 × 2 × 2 = 15 S(6,5) = C(6,2) = \cfrac{6!}{(6-2)! \times2!} = \cfrac{6\times5\times4\times3\times2}{4\times3\times2 \times2} =15 S(6,5)=C(6,2)=(6−2)!×2!6!​=4×3×2×26×5×4×3×2​=15

⑥ 根据公式 : S ( n , n ) = 1 S(n, n) = 1 S(n,n)=1 , 计算 S ( 6 , 6 ) S(6,6) S(6,6) ; S ( 6 , 6 ) = 1 S(6,6) = 1 S(6,6)=1

⑦ 将上面计算的 6 6 6 个斯特林数相加 , 得到的结果 : S ( 6 , 1 ) + S ( 6 , 2 ) + S ( 6 , 3 ) + S ( 6 , 4 ) + S ( 6 , 5 ) + S ( 6 , 6 ) = 1 + 31 + 90 + 65 + 15 + 1 = 203 S(6, 1) + S(6, 2) + S(6, 3) + S(6, 4) + S(6, 5) + S(6, 6) = 1 + 31 + 90 + 65 + 15 + 1 =203 S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)=1+31+90+65+15+1=203



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