设质量为 m 的行星仅受质量为 M 的中心天体的万有引力作用( M\gg m )，以质心位置为参考系，系统的机械能为 E ，角动量大小为 L(L>0) 。以中心天体为极点，建立极坐标系 (r,\theta) ，由机械能守恒与角动量守恒得 E=\frac{1}{2}mv^2-G\frac{mM}{r}=\frac{1}{2}m\left(\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}\right)^2+r^2\left(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\right)^2\right)-G\frac{mM}{r}\\ L=r\left(mr\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\right)=mr^2\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\\ 以上两式消去 \mathrm{d} t，得 \frac{L^2}{2m}\left(\frac{1}{r^4}\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta}\right)^2+\frac{1}{r^2}\right)-\frac{GmM}{r}=E\\ 令 s=\dfrac{1}{r}，得 \left(\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} \theta}\right)^2+s^2-\frac{2GMm^2}{L^2}s=\frac{2mE}{L^2}\\ 等式两边同时以算子\dfrac{\mathrm {d}}{\mathrm{d} s}，得

2\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} \theta^2}+2s-\frac{2GMm^2}{L^2}=0\\ \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} \theta^2}+s-\frac{GMm^2}{L^2}=0\\ 解得s可表示为 s=A\cos (\theta-\theta_0)+\frac{GMm^2}{L^2}\\ 代入前式，得 A^2=\frac{2mEL^2+G^2M^2m^4}{L^4}\\适当选取坐标系(极轴方向)，可使 \theta_0=0, A=-{\dfrac{\sqrt{2mEL^2+G^2M^2m^4}}{L^2}} 得 r=\frac{1}{s}=\frac{1}{\dfrac{GMm^2}{L^2}+A\cos \theta}=\frac{\dfrac{L^2}{GMm^2}}{1-\sqrt{1+\dfrac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}\cos \theta}\\ 为圆锥曲线方程，轨道半通径与离心率分别为 p=\frac{L^2}{GMm^2}, e=\sqrt{1+\dfrac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}\\ r=\frac{p}{1-e \cos \theta}\\ 有以下结论：

(1)行星轨迹方程类型与 E 相关

若 E=-\dfrac{G^2M^2m^3}{2L^2}, e=0 , 轨迹为圆(椭圆)。

若 -\dfrac{G^2M^2m^3}{2L^2}1 ，轨迹为双曲线临近焦点(中心天体)的一支。

在前两种情况中 (E\le0) ，天体受中心天体束缚，做周期运动；后两种情况中 (E\ge0) ，天体均能脱离中心天体的束缚，飞到足够远处。

(2)在椭圆轨道中

b=\sqrt{ap}=\sqrt{-\frac{L^2}{2Em}}\\ a-c=\frac{p}{1+e}, a+c=\frac{p}{1-e}\\ 2a=\frac{2p}{1-e^2}=-\frac{GMm}{E}\\

(3)在椭圆轨道中 \bm{L}=\bm{r}\times\bm{p}=m\frac{\bm{r}\times\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} t}\\ \mathrm{d} S=\frac{1}{2}|\bm{r}\times\mathrm{d}\bm{r}|=\frac{|\bm{L}|}{2m}\mathrm{d} t\\ 得 T=\pi ab\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} S}=\frac{2\pi abm}{|\bm{L}|}\\ (4)在两天体质量差别不是很大时，可以运用两体的运动规律，可得相似的结论.即两体以相似的轨道运动，而且 pm=const ( p 为对应天体轨道的半通径)。

该文章为答主从《更高更妙的物理》一书中解题思路的记忆而来，希望能帮助不小心将其遗忘的人（我自己），侵删