化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ = = > ∣ b 11 b 12 . . . b 1 n 0 b 22 . . . b 2 n . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . b n n ∣ = b 11 b 22 . . . b n n \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\\ \end{matrix} \right| ==> \left| \begin{matrix} b_{11}& b_{12}& ...& b_{1n}\\ 0& b_{22}& ...& b_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& b_{nn}\\ \end{matrix} \right| = b_{11}b_{22}...b_{nn} ∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​==>∣∣∣∣∣∣∣∣​b11​0...0​b12​b22​...0​............​b1n​b2n​...bnn​​∣∣∣∣∣∣∣∣​=b11​b22​...bnn​

计算行列式： D = ∣ 1 1 − 1 2 − 1 − 1 − 4 1 2 4 − 6 1 1 2 4 2 ∣ D = \left|\begin{matrix} 1& 1& -1& 2&\\ -1& -1& -4& 1& \\ 2& 4& -6& 1& \\ 1& 2& 4& 2& \\ \end{matrix} \right| D=∣∣∣∣∣∣∣∣​1−121​1−142​−1−4−64​2112​​∣∣∣∣∣∣∣∣​

解： D ⇒ { r 2 + r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − r 1 ∣ 1 1 − 1 2 0 0 − 5 3 0 2 − 4 − 3 0 1 5 0 ∣ ⇒ r 2 ↔ r 4 ∣ 1 1 − 1 2 0 1 5 0 0 2 − 4 − 3 0 0 − 5 3 ∣ D \xRightarrow{\left\{ \begin{array}{l} r_2+r_1\\ r_3-2r_1\\ r_4-r_1\\ \end{array} \right.} \left|\begin{matrix} 1& 1& -1& 2&\\ 0& 0& -5& 3& \\ 0& 2& -4& -3& \\ 0& 1& 5& 0& \\ \end{matrix} \right| \xRightarrow{{r_2}\leftrightarrow{r_4}} \left|\begin{matrix} 1& 1& -1& 2&\\ 0& 1& 5& 0& \\ 0& 2& -4& -3& \\ 0& 0& -5& 3& \\ \end{matrix} \right| D{r2​+r1​r3​−2r1​r4​−r1​​ ​∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​1021​−1−5−45​23−30​​∣∣∣∣∣∣∣∣​r2​↔r4​ ​∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​1120​−15−4−5​20−33​​∣∣∣∣∣∣∣∣​ ⇒ r 3 − 2 r 2 ∣ 1 1 − 1 2 0 1 5 0 0 0 − 14 − 3 0 0 − 5 3 ∣ ⇒ r 4 − 5 14 r 3 ∣ 1 1 − 1 2 0 1 5 1 0 0 − 14 − 3 0 0 0 57 14 ∣ = 57 \xRightarrow{r_3-2r_2} \left|\begin{matrix} 1& 1& -1& 2&\\ 0& 1& 5& 0& \\ 0& 0& -14& -3& \\ 0& 0& -5& 3& \\ \end{matrix} \right| \xRightarrow{r_4-\frac{5}{14}r_3} \left|\begin{matrix} 1& 1& -1& 2&\\ 0& 1& 5& 1& \\ 0& 0& -14& -3& \\ 0& 0& 0& \frac{57}{14}& \\ \end{matrix} \right| = 57 r3​−2r2​ ​∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​1100​−15−14−5​20−33​​∣∣∣∣∣∣∣∣​r4​−145​r3​ ​∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​1100​−15−140​21−31457​​​∣∣∣∣∣∣∣∣​=57

计算行列式： D = ∣ a b c d a a + b a + b + c a + b + c + d a 2 a + b 3 a + 2 b + c 4 a + 3 b + 2 c + d a 3 a + b 6 a + 3 b + c 10 a + 6 b + 3 c + d ∣ D = \left|\begin{matrix} a& b& c& d&\\ a& a+b& a+b+c& a+b+c+d& \\ a& 2a+b& 3a+2b+c& 4a+3b+2c+d& \\ a& 3a+b& 6a+3b+c& 10a+6b+3c+d& \\ \end{matrix} \right| D=∣∣∣∣∣∣∣∣​aaaa​ba+b2a+b3a+b​ca+b+c3a+2b+c6a+3b+c​da+b+c+d4a+3b+2c+d10a+6b+3c+d​​∣∣∣∣∣∣∣∣​

解： D ⇒ { r 4 − r 3 r 3 − r 2 r 2 − r 1 ∣ a b c d 0 a a + b a + b + c 0 a 2 a + b 3 a + 2 b + c 0 a 3 a + b 6 a + 3 b + c ∣ D \xRightarrow{\left\{ \begin{array}{l} r_4-r_3\\ r_3-r_2\\ r_2-r_1\\ \end{array} \right.} \left|\begin{matrix} a& b& c& d&\\ 0& a& a+b& a+b+c& \\ 0& a& 2a+b& 3a+2b+c& \\ 0& a& 3a+b& 6a+3b+c& \\ \end{matrix} \right| D{r4​−r3​r3​−r2​r2​−r1​​ ​∣∣∣∣∣∣∣∣​a000​baaa​ca+b2a+b3a+b​da+b+c3a+2b+c6a+3b+c​​∣∣∣∣∣∣∣∣​ ⇒ { r 4 − r 3 r 3 − r 2 ∣ a b c d 0 a a + b a + b + c 0 0 a 2 a + b 0 0 a 3 a + b ∣ \xRightarrow{\left\{ \begin{array}{l} r_4-r_3\\ r_3-r_2\\ \end{array} \right.} \left|\begin{matrix} a& b& c& d&\\ 0& a& a+b& a+b+c& \\ 0& 0& a& 2a+b& \\ 0& 0& a& 3a+b& \\ \end{matrix} \right| {r4​−r3​r3​−r2​​ ​∣∣∣∣∣∣∣∣​a000​ba00​ca+baa​da+b+c2a+b3a+b​​∣∣∣∣∣∣∣∣​ ⇒ r 4 − r 3 ∣ a b c d 0 a a + b a + b + c 0 0 a 2 a + b 0 0 0 a ∣ = a 4 \xRightarrow{r_4-r_3} \left|\begin{matrix} a& b& c& d&\\ 0& a& a+b& a+b+c& \\ 0& 0& a& 2a+b& \\ 0& 0& 0& a& \\ \end{matrix} \right| = a^4 r4​−r3​ ​∣∣∣∣∣∣∣∣​a000​ba00​ca+ba0​da+b+c2a+ba​​∣∣∣∣∣∣∣∣​=a4

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

通过降阶法对例一进行计算： 解：

D ⇒ { r 2 + r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − r 1 ∣ 1 1 − 1 2 0 0 − 5 3 0 2 − 4 − 3 0 1 5 0 ∣ D \xRightarrow{\left\{ \begin{array}{l} r_2+r_1\\ r_3-2r_1\\ r_4-r_1\\ \end{array} \right.} \left|\begin{matrix} 1& 1& -1& 2&\\ 0& 0& -5& 3& \\ 0& 2& -4& -3& \\ 0& 1& 5& 0& \\ \end{matrix} \right| D{r2​+r1​r3​−2r1​r4​−r1​​ ​∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​1021​−1−5−45​23−30​​∣∣∣∣∣∣∣∣​ 2. 展开: ∣ 1 1 − 1 2 0 0 − 5 3 0 2 − 4 − 3 0 1 5 0 ∣ = ∑ j = 1 4 a j 1 A j 1 = ∣ 0 − 5 3 2 − 4 − 3 1 5 0 ∣ \left|\begin{matrix} 1& 1& -1& 2&\\ 0& 0& -5& 3& \\ 0& 2& -4& -3& \\ 0& 1& 5& 0& \\ \end{matrix} \right| = \sum_{j=1}^4{a_{j1}A_{j1}}= \left|\begin{matrix} 0& -5& 3& \\ 2& -4& -3& \\ 1& 5& 0& \\ \end{matrix} \right| ∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​1021​−1−5−45​23−30​​∣∣∣∣∣∣∣∣​=j=1∑4​aj1​Aj1​=∣∣∣∣∣∣​021​−5−45​3−30​​∣∣∣∣∣∣​ ⇒ r 2 − 2 r 3 ∣ 0 − 5 3 0 − 14 − 3 1 5 0 ∣ = ∑ j = 1 3 a j 1 A j 1 = ∣ − 5 3 − 14 − 3 ∣ \xRightarrow{r_2-2r_3} \left|\begin{matrix} 0& -5& 3& \\ 0& -14& -3& \\ 1& 5& 0& \\ \end{matrix} \right| = \sum_{j=1}^3{a_{j1}A_{j1}}= \left|\begin{matrix} -5& 3& \\ -14& -3& \\ \end{matrix} \right| r2​−2r3​ ​∣∣∣∣∣∣​001​−5−145​3−30​​∣∣∣∣∣∣​=j=1∑3​aj1​Aj1​=∣∣∣∣​−5−14​3−3​​∣∣∣∣​ ⇒ r 1 + r 2 ∣ − 19 0 − 14 − 3 ∣ = 57 \xRightarrow{r_1+r_2} \left|\begin{matrix} -19& 0& \\ -14& -3& \\ \end{matrix} \right| = 57 r1​+r2​ ​∣∣∣∣​−19−14​0−3​​∣∣∣∣​=57

陆续更新。。。