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复变函数的积分
Author : Benjamin142857 Date : 2018/10/1 目录复变函数的积分1. 有关的几个定理与公式1.1 C-R 方程1.2 C-G 定理1.3 圈圈公式1.4 复合闭路定理1.5 Cauchy积分公式1.6 高阶导数公式1.7 Laplace方程2. 常见形式的复变函数积分[A] \(\int_cf(z)dz\) : 简单非闭合曲线积分[B] \(\oint_cf(z)dz\) : 任意函数闭合曲线积分[C1] \(\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 单奇点[C2] \(\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 多奇点[D1] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次单奇点[D2] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次多奇点[D3] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次单奇点[D4] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次多奇点3. 调和函数与偏微分法
Cauchy Riemann equation - 柯西黎曼方程，对于 \(f(z) = u + iv\) \[\frac{\part u}{\part x} = \frac{\part v}{\part y} \\ \frac{\part u}{\part y} = -\frac{\part v}{\part x} \]1.2 C-G 定理Cauchy Goursat theorem - 柯西古萨定理，对于 \(f(z)\) 在D内解析 \[\oint_cf(z)dz=0 \]1.3 圈圈公式\(c : |z-z_0|=r\) \[\oint_{c}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}} = \begin{cases} 2\pi i，(n=0) \\ 0，(n\neq0)\end{cases} \]1.4 复合闭路定理\(c\) 含 \(n\) 个奇点，每个奇点可以画个 \(c_k\) 小圆，\(k=1,2,...,n\) \[\oint_cf(z)dz = \sum_{k=1}^n\oint_{c_k}f(z)dz \]1.5 Cauchy积分公式\(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续 \[\oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2\pi if(z_0) \]1.6 高阶导数公式 \[f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \]1.7 Laplace方程拉普拉斯方程，对于函数 \(\phi(x, y)\) \[\frac{\part^2\phi}{\part x^2} +\frac{\part^2\phi}{\part y^2}=0 \]2. 常见形式的复变函数积分 [A] \(\int_cf(z)dz\) : 简单非闭合曲线积分一般题目所给出的积分路径 \(c\) 在 \(f(z)\) 的解析区域内或 \(f(z)\) 全平面解析，根据 C-G定理，积分与路径无关，转为x,y重积分 例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(x\in [0\rightarrow 2])\) \[\int_c \overline z dz \\= \int_{(0, 0)}^{(2,0)}x-iydz + \int_{(2, 0)}^{(2,8)}x-iydz \\= \int_0^2xdx + \int_0^8(2-iy)idy\\=34+8i \]路径未必在解析区域内的万能做法，但计算复杂 例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(u(t)-u(t+2))\) \(x = t\)，\(y = t^3\)，\(t\in (0,2)\) \(z = t+it^3\) \(f(z) = t-it^3\) \(\int_c \overline z dz = \int_0^2t-it^3d(t+it^3) = \int_0^2t+3t^5+i2t^3dt=34+8i\) [B] \(\oint_cf(z)dz\) : 任意函数闭合曲线积分若在解析区域， C-G定理 \[\oint_C f(z)dz = 0 \][C1] \(\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 单奇点[圈圈公式] 例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\) \[\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz = 2\pi i \] [C2] \(\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 多奇点[复合闭路定理 + 圈圈公式 + Cauchy积分公式] 例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\) \[\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz\\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 0 \] [D1] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次单奇点[ 圈圈公式 + Cauchy积分公式 ] 例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\) \[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz \\= \oint_{c}\frac{1}{(z-1)}dz \\= 2\pi i \] [D2] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次多奇点[复合闭路定理 + 圈圈公式 + Cauchy积分公式] 例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\) \[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{-1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 2\pi i \] [D3] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次单奇点[高阶导数公式 + 圈圈公式 + Cauchy积分公式] 例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz,\ \ \ c : |z|=2\) \[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz \\= \frac{2\pi i}{4!}[z^{(4)}|_{z=1}]\\=0 \] [D4] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次多奇点[高阶导数公式 + 圈圈公式 + 复合闭路定理 + Cauchy积分公式] 例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz,\ \ \ c : |z|=3\) \[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz \\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{(z-2)^3}}{(z-1)^2}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{(z-1)^2}}{(z-2)^3}dz\\=\frac{2\pi i}{1!}[(\frac{z}{(z-2)^3})^{(1)}|_{z=2}] + \frac{2\pi i}{2!}[(\frac{z}{(z-1)^2})^{(2)}|_{z=1}]\\=不想算 \] 3. 调和函数与偏微分法调和函数 \(\phi(x, y)\) 在区域内具有二阶连续偏导 符合Laplace方程[C-R方程]\(\Downarrow\) 区域内的解析函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 实部与虚部均为调和函数 区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数 偏微分法 通过 \(u\) \(\Rightarrow\) \(v\) \(\Rightarrow\) \(u+iv\) 或 通过 \(v\) \(\Rightarrow\) \(u\) \(\Rightarrow\) \(u + iv\) |
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