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2022张宇考研基础30讲 第八讲 一元函数积分学的概念与计算

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2022张宇考研基础30讲 第八讲 一元函数积分学的概念与计算

2024-07-09 19:59| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录 第八讲 一元函数积分学的概念与计算不定积分原函数（不定积分）存在定理用导数介值定理解释 定积分变限积分不定积分与变限积分的比较 积分的奇偶性积分的周期性反常积分基本积分公式基本积分方法凑微分法换元法分部积分法： 有理函数的积分定积分的计算区间再现公式华里氏（点火）公式例题精选

第八讲 一元函数积分学的概念与计算 不定积分

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 不定积分包含了一个函数的全体原函数，它们只差一个常数C

原函数（不定积分）存在定理

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

用导数介值定理解释

在这里插入图片描述 如果fx可导，如果它能取到两个端点的导数值，则必然能取到这两个导数值内的所有的值。

而原函数求导等于其儿子函数： 在这里插入图片描述 如果一个函数可导，它是不可能导出这样的儿子的： 在这里插入图片描述 因为根据导数介值定理，要求其取遍所有的导数值，在这里明显不行。

因此有跳跃间断点的函数，它的父亲无法满足求导处处等于儿子，没有这样的父亲能满足条件，所以它是孤儿

可去间断点也是同理，因为可去间断点在该点没有定义，或者函数值可以任意取， 在这里插入图片描述 那么对于这里的x0来讲，f（x0）这个函数值，是无法通过父亲的F’（x0）得出来的。

而对于无穷间断点来说，极限不存在，也就是fx当x趋于零时，fx不存在，那么FX就不可能可导 在这里插入图片描述

所以说如果一个函数可导，它是导不出带有可去、跳跃、和无穷间断点的函数的。 但是一个函数可导，有可能可以导出带有振荡间断点的函数。 例如： 在这里插入图片描述 首先这个函数是可导的。

但是这时候这个导函数带有振荡间断点： 在这里插入图片描述

并且它不会违背导数介值定理： 在这里插入图片描述 所以函数求导的函数，要么是连续函数，要么是带有振荡间断点的函数。

定积分

需要注意的是 定积分的几何意义是一个面积，（但可以为负），也就是说是一个数 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 ↑这是一个重要结论

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 中值定理，核心考点! 证明：用拉格朗日

在这里插入图片描述

变限积分

变限积分是在定积分中，将积分上限从常数改为x，此时可以得到一个关于x的函数 而在变限积分中，由于下限选取的不同，会导致他们在常数上会有所差异，但是他们都是它的原函数，求导还是等于该函数 在这里插入图片描述

这两个都是e的x²的父亲，他们只是差了一个 在这里插入图片描述

不定积分与变限积分的比较

不定积分的∫号没有上下限，但是变上限积分下限为常数，上限为x 不定积分代表的是这个函数的全体原函数，而变上限积分是其中一个原函数。

积分的奇偶性

在这里插入图片描述 上面是下限为0的情况，但如果下限不是0而是一个常数，则 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述 对于下面这种情况，要求积分在0到a上积分为零，可以是a=0，也可以是这样：因为这两种情况，积分得到的函数值相同，（也就是常数是一样的，在这里那个常数C都等于0）

在这里插入图片描述 或者还可以这样理解，在图上，你从0开始计算面积，和从2开始计算面积，得到的结果是一样的。

这也很好理解，奇函数如果往上平移则不是奇函数了。 在这里插入图片描述 复合函数的奇偶性：只与外层有关 在这里插入图片描述

积分的周期性

在这里插入图片描述 一个函数以T为周期，导函数必然以T为周期，但父亲函数只有在满足红圈条件下才以T为周期。

在这里插入图片描述 积分的可拆性： 只要起点终点相同，中间可以随便拆： 在这里插入图片描述 根据可拆性，这里拆成这样三部分（因为要保留0到T的部分） 在这里插入图片描述

同时上面这个定理说明一个周期函数的积分长度若为T，则积分值与起点无关

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 如果fx以T为周期，那么在fx一个周期上积分为零和其原函数是周期函数互为充要条件 在这里插入图片描述

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反常积分

又称黎曼积分，可以在无穷区间或者无界函数上进行积分，这种情况下，可能也可以积分出一个数来。

在这里插入图片描述 其实就是从代入数变成代入极限

基本积分公式

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基本积分方法 凑微分法

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换元法

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在这里插入图片描述 secx的图像： 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 可能需要经过计算才能从a²x+bx+c变成4-（x+1）²这样 此时就需要令在这里插入图片描述

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述 金字塔形较为稳定，不适合改变，此时可以通过倒代换来改变。

分部积分法：

’就是d（）/dx的简写 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 更适合积分的来做v 越靠近右边越适合做v

表格法： 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 对于指数函数和三角函数积分 在这里插入图片描述 算完之后再移回去 在这里插入图片描述

总共有这三种类型的考题 在这里插入图片描述 对于反三角和对数函数，求导一次后就可以结束了，然后进行表格积分法

在这里插入图片描述

例题 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

有理函数的积分

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 例题： 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

定积分的计算

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 第四第五个很重要

区间再现公式

在这里插入图片描述 但是这个也并不好求 在这里插入图片描述 但是这两个加起来 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

例题 在这里插入图片描述 用第一问的结论来解决第二问 在这里插入图片描述 在0到nT上积分相当于n个周期的和

在这里插入图片描述 在这里还可以 在这里插入图片描述

华里氏（点火）公式

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 这里也用了区间再现公式

在这里插入图片描述 但是在使用点火公式前 可能会这样，设一些步骤让你做 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 还有这种 在这里插入图片描述 用一系列计算阻挡着你 或者右图 心形线旋转一周算旋转体体积

例题精选

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 可以从两个角度：根据答案图像来判断斜率，也可以通过所给图像来想象出答案

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下面这道难点题

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