对于两个集合A与B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作 A\subseteq B （或 B\supseteq A ），读作“A含于B”（“或B包含A”）。也就是说，A是B的子集，即：A\subseteq B\Leftrightarrow 任取 x\in A ,总有 x\in B 。

当A不是B的子集时，记作A⊈B（或B⊉A）。

说明

（1）⊆可以换用⊂，⊇可以换用⊃；⊈可以换用⊄，⊉可以换用⊅。

（2）用韦恩图表示子集为：

对于两个集合A与B，如果A\subseteq B，并且 A\ne B ，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B\supsetneqqA）。

A是B的真子集：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A。即 A⫋B \Leftrightarrow 任取x\in A ,总有x\in B，但存在 y\in B ，y\notin A 。

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。即 A=B\Leftrightarrow A\subseteq B 且 B\subseteq A 。

不含任何元素的集合称为空集，记作 \phi 。

说明

∅与{∅}关系：{∅}是只含有一个元素的单元素集。∅与{∅}之间可以用四个符号： \in ,\ne ,\subseteq , \subsetneqq 中的任意一个把它们链接起来，但不能用等号连接。

至少含有一个元素的集合叫做非空集合。

如果有一个集合含有我们所要研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常用U表示。

全集是一个相对的概念，它是相对于它的一切子集而言的。

集合A与集合B有且仅有下列两种关系之一： A\subseteq B 与 A\not\subseteq B

说明

（1）真子集必是子集，子集不一定是真子集，即 A\subsetneqq B\Rightarrow A\subseteq B ；

（2）任何一个集合是它本身的子集，即 A\subseteq A ；

（3）空集是任何集合的子集，即 ∅\subseteq A ，空集是任何非空集合的真子集，即 ∅\subsetneqq A\ne ∅ ；

（4）n元素的全部子集个数为 2^{n} 个，真子集为 2^{n}-1 个；

若{ a_{1},a_{2},\cdots，a_{m} } \subseteq A \subseteq{ a_{1},a_{2},\cdots，a_{m},a_{m+1},\cdots，a_{n} } ，则集合A的个数为 2^{n-m} 个；

若{ a_{1},a_{2},\cdots，a_{m} } \cup B={ a_{1},a_{2},\cdots，a_{m},a_{m+1},\cdots，a_{n} }，则集合B的个数为 2^{m} 个。

（5）对于集合A、B、C，若 A\subseteq B ， B\subseteq C ，则 A\subseteq C

对于集合A、B、C，若 A\subsetneqq B , B\subsetneqq C ,则 A\subsetneqq C .

（6）注意 a与{a}、数0与{0}、{0}与∅、{（a,b）}与{a,b}、∅与{∅}等之间的区别。

设 A\subseteq U ，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 \complement _{U} A (读作“A在U中的补集”)。

用符号语言表示为：\complement _{U} A=\left\{ x|x\in U且x\notin A \right\}

用韦恩图表示即为如下图所示的阴影部分表示\complement _{U} A

由补集定义可知，若 B=\complement _{s}A 则 \complement _{S}B=A。

补集的相关性质

设全集为U， A\subseteq U ，则有 \complement _{U}U=∅ \complement _{U}∅=U