参考资料：概率论与数理统计（浙大第四版）,A First Course in Probability 8th Edition，

an introduction to mathematical statistics and its applications

本期关键词：联合概率分布，边缘分布，条件分布

前置知识：概率分布函数，多元微积分，条件概率

和微积分的学习顺序一样，学完了单变量的概率分布之后，我们很自然就要过渡到多变量（联合）的概率分布中。

我们先以二元为例：

假设 X,Y 都是样本空间 S 上的随机变量，则 (X,Y) 是一个二元随机向量。

比如（身高，体重）就是一种很常见的二元随机向量。

这样从一元向多元的推广是很有意义的，因为单个变量可能并不能完全反应总体的情况，就像我们从小学过的盲人摸象一样。

定义 F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y) 为二元随机向量 (X,Y) 的联合分布函数。

类比着连续型随机变量的概率区间计算，我们可以得到如下的一个计算公式：

随机向量点落在矩形区域 \{(x,y)|x_{1}

其中的矩形面积可以用“大减小”的方式直观的计算出来。

联合概率分布函数的性质与单变量概率分布函数的性质类似：

对于 F(x,y) ，如果存在 f(x,y) ，使得 F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(s,t)dsdt

则 f(x,y) 即为 (X,Y) 的概率密度函数。

概率密度函数的性质也和单变量类似：

多插一句话：联合概率分布的难度相比前面要大一些，而大部分的难度来源都是重积分（所以微积分下还是要好好学）

从二元概率分布中，我们可以得到

类比二元我们自然就要想到多元随机向量，表示为 (X_1,X_2,...,X_n)

F(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,...,X_n\leq x_n)

=\iint_{}^{}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1...dx_n

边缘分布，也叫边际分布，即探讨其中某个变量的分布情况。

我们以变量 X为例。

F_{X}(x)=P(X\leq x)=P(X\leq x, Y