第二学期第十次课

第七章

线性变换的

Jordan

标准型

§

1

幂零线性变换的

Jordan

标准型

A

是数域

K

上

n

维线性空间

V

上的线性变换

,

如果存在正整数

m,

使

A

m

=0

,

则称

A

是一个

幂零线性变换

. 

对数域

K

上

n

阶方阵

A, 

如果存在正整数

m,

使

m

A

=

0,

则称

A

为

幂零矩阵

. 

命题

幂零线性变换的特征值等于

0. 

证明

设



是

V

上幂零线性变换

A

的特征值

,

则存在

V

中非零向量



,

使得

A



=





假设

m

A

=0,

则

A

m



=



m



=0 

从而



m

=0, 



=0. 

设

A

是数域

K

上

n

维线性空间

V

上的一个幂零线性变换

.

取

V

中任意非零向量



,

则存在

最小的正整数

k,

使得

A

1

k







0,

但

A

k



=0.

可以证明

:

向量组



,

A



,

…

,

 A

1

k





是线性

无关的

.

令

I(



)=L(



,

A



,

…

,

A

1

k





),

则

I(



)

为

A

的一个不变子空间

,

且

dim 

I(



)=k.

称

I(



)

为

A

的

循环不变子空间

.A

限制在

I(



)

中

,

在基

A

1

k





,

…

,

A



,



下的矩阵为



































0

1

0

0

0

1

0

J









定义

形如



























s

2

1

J

0

0

J

J

J



,

i

i

n

n

i

0

0

1

0

0

1

0

J

































的准对角矩阵称为

Jordan

形矩阵

,

而主对角线上的小块方阵

i

J

称为

Jordan

块

. 

命题

数域

K

上的

n

维线性空间

V

上的幂零线性变换

A

在某组基下的矩阵可以成为

Jordan

形的充分必要条件是

V

可以分解为

A

的循环不变子空间的直和

.