n n n 阶行列式中，划去元 a i j a_{ij} aij​ 所在的第 i i i 行与第 j j j 列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的 n − 1 n-1 n−1 阶行列式称为元 a i j a_{ij} aij​ 的余子式。

作用：能把 n n n 阶的行列式化简为 n − 1 n-1 n−1 阶。

行列式，记作 d e t ( A ) det(A) det(A)，是一个将方阵 A A A 映射到实数的函数。行列式等于矩阵特征值的乘积。行列式的绝对值可以被认为是衡量矩阵相乘后空间扩大或者缩小了多少。如果行列式是 0 0 0, 那么空间至少沿着某一维完全收缩了，使其失去了所有的体积。如果行列式是 1 1 1, 那么矩阵相乘没有改变空间体积。

行列式等于它任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

本质含义（几何意义）：行列式就是在给定一组基下， N N N 个向量张成的一个 N N N 维广义四边形的体积。 2 2 2 阶行列式代表的是平面内的面积； 3 3 3 阶行列式自然而然就是 3 3 3 维空间内的体积； 4 4 4 阶行列式是 4 4 4 维空间里的超体积。

k k k 阶子式：在一个矩阵或行列式中取 k k k 行 k k k 列，交叉处的 k 2 k^2 k2 个元素按原顺序构成的行列式。

[1] 从子式的角度定义：矩阵的秩就是矩阵中非零子式的最高阶数。

[2] 从极大线性无关组的角度定义：矩阵的所有行向量中极大线性无关组的元素个数。

[3] 从标准型的角度定义：求一个矩阵的秩，可以先将其化为行阶梯型，非零行的个数即为矩阵的秩。（行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的行数。）

矩阵的秩等于它列向量组的秩，也等于它行向量组的秩。

向量组的秩定义为向量组的极大线性无关组所含向量的个数。

任何矩阵的行空间的维数等于矩阵的列空间的维数等于矩阵的秩。

设 A A A 是 m × n m×n m×n 矩阵，若 R ( A ) = r ＜ n R(A)=r＜n R(A)=r＜n，则齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0 有基础解系，且每个基础解系都含 n − r n-r n−r 个解向量。

方阵 A ( n ∗ n ) A(n*n) A(n∗n) 的迹定义为对角线元素的和。即：

r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n，有惟一零解； r ( A ) < n r(A)