线性代数面试题 |
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1、矩阵的秩的含义?
答: ①基本概念:矩阵的秩就是其非零子式的最高级阶数 ②与向量组关系:向量组的秩就是最大线性无关组的向量个数,这两个秩虽然定义不同,但实际值相等; ③与向量空间关系(几何意义):任何矩阵的秩=主元列的数目=列空间的维数; ④与线性方程组解的关系: 设A是m×n的矩阵 ⑤: 矩阵完成的是从一个向量空间到另一个向量空间的映射; 矩阵的秩--直观解释_哔哩哔哩_bilibili 2.行列式的意义?答: ①几何意义:行列式就是在给定一组基下,N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。2阶行列式代表的是平面内的面积;3阶行列式自然而然就是3维空间内的体积;4阶行列式是4维空间里的超体积。 ②与线性映射的关系: 如果A的行列式不为零,代表变换后N维体的体积不是零,那么A可以把一组线性无关的矢量映射成一组新的线性无关的适量,A可逆;如果A的行列式为零,那么A就会把一组线性无关的矢量映射成一组线性相关的矢量,A就不可逆(非保真映射);如果A的行列式为负数,A就会改变原来N维体体积的朝向; 从线性无关到线性相关,其中丢失了部分信息,因此这个变换显然就是不可逆的,因此建立了A的行列式与是否可逆的几何关系;
答: ①公式定义:若 c1x1+c2x2+⋯+cnxn=0 仅在c1=c2=⋯=cn=0 时才成立,则称向量x1,x2……xn是线性无关的。换而言之,若存在非零向量c,使得Ac=0,则这个矩阵A的列向量线性相关。 ②几何定义:一组矢量的线性相关性本质上,是描述他们所张成的广义平行四边形体积是否为零。N个向量线性无关 ⇔ 他们所张成的N维体体积不为零。于是有:线性无关矢量组成的矩阵的行列式不为零;线性相关矢量组成的矩阵的行列式必为零。 ③与线性方程组解的定义:若这些线性无关的向量作为列向量构成矩阵A,则方程Ax=0只有零解x=0,或称矩阵A的零空间只有零向量。 4.解释矩阵的特征值与特征向量?以及关系?答: ①公式定义:非零x满足 ②几何定义:矩阵A完成的是一个向量空间到另一个向量空间的映射,有些向量映射前后在一条直线上,该向量称为特征向量;这里的矩阵A就只起到了伸缩作用,因此可以表示为 ③关系:一个特征值可能对用多个特征向量,一个特征向量只能属于一个特征值;属于不同特征值的特性向量一定线性无关; 5.什么是奇异矩阵?答:奇异矩阵又称非可逆矩阵,对应的行列式等于0,即该矩阵为非满秩矩阵; 若矩阵A为奇异矩阵,则方程Ax=0存在非零解,也可理解为矩阵的列向量可以通过线性组合得到0; 6.什么是零空间?答:矩阵A的零空间N(A)是指满足Ax=0的所有解的集合。 7.什么是张成空间?答:当一个空间是由向量v1,v2,v3....vk的所有线性组合组成时,我们称这些向量张成了这个空间;如果向量v1,v2,v3...vk张成空间S,则S是包含这些向量的最小空间; 8.什么是基?答:向量的基是具有以下两个性质的一组向量v1,v2,v3...vd: v1,v2,v3...vd线性无关;v1,v2,v3...vd张成该向量空间; 9.什么是投影矩阵?为什么要投影?答: ①向量b在向量a上的投影可以理解为如何在向量a的方向上寻找向量b最近的一点;又根据向量三角形法则,可以得到公式 ②方程Ax=b有可能无解,我们需要得到方程的“最优解”。这里的问题在于向量Ax一定在矩阵A的列空间之内,但是b不一定,因此我们希望将b投影到A的列空间得到p,将问题转化为求解 答: ①从两个线性无关的向量a和b开始,他们张成一个空间,我们的目标是希望找到两个标准正交的向量q1,q2能张成同样的空间,施密特正交化即为如果我们有一组正交基A和B(向量),那么令他们除以自己的长度就得到标准正交基: ②在一个平面或者三维空间中,任意一点都可以被坐标系表示出来,而我们更喜欢单位直角坐标系,因为在一个单位直角坐标系中,任意一个向量的坐标分量,通过简单的投影就可以搞定。施密特正交化法就是告诉我们把一种任意坐标系变为直角坐标系的方法。 11.什么是正定矩阵?对正定矩阵的理解?答: ①定义:给定一个大小为 n×n 的实对称矩阵 A ,若对于任意长度为 n 的非零向量 X,有 ②判定条件: ③应用:判定最小值点:判断二阶导数矩阵是否正定 若正定,则函数有唯一全局最小值;若半正定,则最小值不唯一;若不定,则无最小值; 12.什么是相似矩阵?答: A和B均是nxn方阵,若存在可逆矩阵M,使得 可以理解为两个方阵是同一个线性映射,在不同基下的代数表达; 参考:x(4条消息) 保研复习——线性代数7:经典面试题_月半 月半的博客-CSDN博客 |
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