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矩阵零空间
Reference: 给定一个矩阵A，让我求它的零空间，应该怎么求？
对于一个矩阵
A
A
A，它的零空间就是所有满足
A
x
=
0
A \mathbf{x}=0
Ax=0 的向量
x
\mathbf{x}
x 张成的空间。 我们举个例子说明一下该如何求零空间，假设矩阵：
A
=
[
1
1
1
1
1
2
3
4
1
4
7
10
]
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 7 & 10 \end{array}\right]
A=
1111241371410
我们先求出它的简化行阶梯型矩阵：
A
=
[
1
1
1
1
1
2
3
4
1
4
7
10
]
=
[
1
1
1
1
0
1
2
3
0
3
6
9
]
=
[
1
0
−
1
−
2
0
1
2
3
0
0
0
0
]
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 7 & 10 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 6 & 9 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
A=
1111241371410
=
100113126139
=
100010−120−230
写成
A
x
=
0
A \mathbf{x}=0
Ax=0 的形式，我们可以把主元表示出来：
x
1
=
x
3
+
2
x
4
x
2
=
−
2
x
3
−
3
x
4
\begin{array}{l} x_1=x_3+2 x_4 \\ x_2=-2 x_3-3 x_4 \end{array}
x1=x3+2x4x2=−2x3−3x4于是通解
[
x
1
x
2
x
3
x
4
]
\left[\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{array}\right]
x1x2x3x4
可以表示为：
[
x
3
+
2
x
4
−
2
x
3
−
3
x
4
x
3
x
4
]
=
x
3
[
1
−
2
1
0
]
+
x
4
[
2
−
3
0
1
]
\left[\begin{array}{c} x_3+2 x_4 \\ -2 x_3-3 x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]
x3+2x4−2x3−3x4x3x4
=x3
1−210
+x4
2−301
这表明所有满足矩阵方程的向量
x
\mathbf{x}
x 都是上式右边两个向量的线性组合，所以该矩阵的零空间就是：
{
[
1
−
2
1
0
]
,
[
2
−
3
0
1
]
}
\left\{\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\right\}
⎩
⎨
⎧
1−210
,
2−301
⎭
⎬
⎫
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