自然序列平方的DFT

  对于序列平方的离散傅里叶变换，   可以直接利用定义， 再施加一定的数学推导，   经过整理之后，   便可以得到最后的结果。  下面利用数值仿真的方法， 来验证一下这个公式是否正确。

  对于自然数平方序列  下面推导一下它的离散傅里叶变换。 这是 DFT 公式，   其中 W 是  e 的 负j N 分之 2 Pi。 它有一个性质，  对于 N 的整数倍数次幂，   经过化简，   可以知道它等于 e 的 负 j， 2 Pi k， 这个数值等于 1。  这个属性待会儿在求解过程中会使用到。  

  对于序列平方的离散傅里叶变换，  其中 k 等于 0 时， 结果比较简单，  它等于 n 的平方的累加，  这里就给出了对应的结果。   下面我们推导一下，  k 不等于 0 时， 这个变化结果。

  下面为了书写方便，  先对 k=1 的情况进行推导， 后面再 利用 W 的 nk 次方替换 W n 次方。  由于在后面需要应用到 n 的离散傅里叶变换，  在这里先求 n 的 傅里叶变换。  对于上面这个系数为等差序列的等比序列的求和，  将其不同的想进行拆解，  每一行都是等比序列，  对于第一行，  根据等比序列， 可以计算出累加和等于 1 减 W 分之 W 减去 W 的 N 次方。  第二行也是一个等比序列。   它的累加和等于 首项 减去 尾项乘以等比， 再除以 1 减去 等比。  其余各项都可以推导出来。   将这些结果类加在一起，  对其进行化简。  其中 W 的 N 次方， 刚才已经说明过 它等于 1。  前面是一个等比序列的累加和，  写出它的结果，  将 W 的 N 次方更换为 1，  前面这一项等于 负一。 对于分子进行化简，  最终等于 负 N 。  至此， 我们先得到了 序列 n 的离散傅里叶变换。

  这个结果 留作后面使用。   下面推导 n 的平方的离散傅里叶变换公式。   根据公式， 继续将其展开，  利用相同的技巧， 把它展成许多等比序列之和，  我们可以写出每一组等比序列累加结果。   然后再合并这些累加和。  提出相同的分母，  里面包括有 2k 减去 1 乘以 W 的k 次方的累加，  还有一个等差序列的累加。 其中 W 的 N次方等于 1，  所以后面就是等差序列累加和，  结果等于N 减 1 的平方。   前面的累加和可以拆成两项， 后面一项是等比序列累加和， 写出它的结果。  前面一项是关于 序列 n 的 离散傅里叶变换，  这个结果前面刚刚求出， 将其代入。  对于中间的结果进行化简，  它等于 负1。   最终合并后面两项， 这是化简后的结果。  写出最终的结果。

  根据这个结果，   最终可以得到关于 k 不等于 0 时对应的离散傅里叶变换。   这是 n 的平方序列的离散傅里叶变换结果。  请注意， k 等于 0 时的表达式需要单独写出来。

  下面使用 Python 程序， 验证一下这个结果是否正确。  在这里验证 N 等于 10 的时候，使用推导结果与FFT计算结果进行对比。 这是根据刚才推动的公式， 计算不同 k 时 对应的变换结果。 定义 n 平方的数组。 直接使用 FFT 计算出 结果。 利用公式计算出结果。 输出两个计算结果数值， 对比它们是否相同。 这是输出两种方法计算的结果， 可以看出使用给定的公式和 FFT 计算出的结果是一样的。  由此，验证了这个公式的正确性。

  下面是计算结果：

  本文推到了 自然序列平方的离散傅里叶变换公式， 对于和这个习题相关的参考答案进行更新。

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