《通信网络基础》马尔可夫链中期望的计算 本文解决二如下公式的计算问题 ∑ n = 0 ∞ n ρ n ( 1 − ρ ) = ? \sum_{n=0}^{\infty}{n \rho^n(1-\rho)} =? n=0∑∞​nρn(1−ρ)=?

系统稳态的概率 p n = ρ n p 0 p_n=\rho^np_0 pn​=ρnp0​ 并且 p 0 = 1 − ρ p_0=1-\rho p0​=1−ρ 则 p n = ρ n ( 1 − ρ ) p_n=\rho^n(1-\rho) pn​=ρn(1−ρ)

下面求系统内的平均用户数为N N = ∑ n = 0 ∞ n p n = ∑ n = 0 ∞ n ρ n ( 1 − ρ ) = ρ 1 − ρ N=\sum_{n=0}^{\infty}{np_n}=\sum_{n=0}^{\infty}{n \rho^n(1-\rho)}=\frac{\rho}{1-\rho} N=n=0∑∞​npn​=n=0∑∞​nρn(1−ρ)=1−ρρ​

存在问题的是哪一步呢？ ∑ n = 0 ∞ n ρ n = ? \sum_{n=0}^{\infty}{n\rho^n}=? n=0∑∞​nρn=? 我们将其展开 ∑ n = 0 ∞ n ρ n = ρ + 2 ρ 2 + 3 ρ 3 + . . . + ( n − 1 ) ρ n − 1 + n ρ n + . . . \sum_{n=0}^{\infty}{n\rho^n}=\rho+2\rho^2+3\rho^3+...+(n-1)\rho^{n-1}+n\rho^n+... n=0∑∞​nρn=ρ+2ρ2+3ρ3+...+(n−1)ρn−1+nρn+...

其实，这是高中所学求和公式的一种。 哪一种？ 等 差 数 列 ∗ 等 比 数 列 等差数列*等比数列 等差数列∗等比数列 等差数列*等比数列求和的解决方法是什么呢？ 错位相减法

令 S = ρ + 2 ρ 2 + 3 ρ 3 + . . . + ( n − 1 ) ρ n − 1 + n ρ n ( 1 ) S=\rho+2\rho^2+3\rho^3+...+(n-1)\rho^{n-1}+n\rho^n\quad(1) S=ρ+2ρ2+3ρ3+...+(n−1)ρn−1+nρn(1)

两边同乘公比 ρ \rho ρ,有： ρ S = 0 + ρ 2 + 2 ρ 3 + . . . + ( n − 2 ) ρ n − 1 + ( n − 1 ) ρ n + n ρ n + 1 ( 2 ) \rho S=0+\rho^2+2\rho^3+...+(n-2)\rho^{n-1}+(n-1)\rho^n+n\rho^{n+1}\quad(2) ρS=0+ρ2+2ρ3+...+(n−2)ρn−1+(n−1)ρn+nρn+1(2) (1)式-(2)式有

( 1 − ρ ) S = ρ + ρ 2 + ρ 3 + . . . + ρ n − 1 + ρ n − n ρ n + 1 = ρ 1 − ρ − n ρ n + 1 (1-\rho) S=\rho+\rho^2+\rho^3+...+\rho^{n-1}+\rho^n-n\rho^{n+1} =\frac{\rho}{1-\rho} -n\rho^{n+1} (1−ρ)S=ρ+ρ2+ρ3+...+ρn−1+ρn−nρn+1=1−ρρ​−nρn+1 则 S = ρ ( 1 − ρ ) 2 − n ρ n + 1 1 − ρ S=\frac{\rho}{{(1-\rho)}^2}-\frac{n\rho^{n+1}}{1-\rho} S=(1−ρ)2ρ​−1−ρnρn+1​ 当 n → + ∞ n\rightarrow+\infty n→+∞时,由于 ρ < 1 , \rho{(1-\rho)}^2} n=0∑∞​nρn=(1−ρ)2ρ​

所以有 N = ∑ n = 0 ∞ n p n = ∑ n = 0 ∞ n ρ n ( 1 − ρ ) = ρ 1 − ρ N=\sum_{n=0}^{\infty}{np_n}=\sum_{n=0}^{\infty}{n \rho^n(1-\rho)}=\frac{\rho}{1-\rho} N=n=0∑∞​npn​=n=0∑∞​nρn(1−ρ)=1−ρρ​