离散随机变量X只能取有限个值或可列个值。

我们不仅需要知道随机变量X的取值，还需要知道每个取值的概率，即概率分布表。

下面我列出离散型随机变量常见的概率分布，并给出相应背景。

小故事：

假设工厂现有100件零件，其中正品90件，次品10件。有位工人现在随机从这100件零件中挑选1件，那么他挑选出正品的概率为0.9，即 P(X=正品)=p = 0.9 。

定义：

若随机变量X的取值为0和1两种情况，且满足概率分布 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p ，则X服从参数为 p 的两点分布。

小故事：

还是上一位工人，他现在独立重复的挑了n个零件，则他挑出k件正品的概率为 P(X=n个零件中有k个正品) 。简单来说就是，我们进行了n次独立重复的伯努利实验，其中事件A发生的次数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为 0，1，...，n ，且满足概率分布 P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k} ,则称X服从参数为 n,p 的二项分布， X \sim B(n,p) 。

小故事：

还是那位工人，假设他现在不停歇的挑选零件，则挑出正品零件的个数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为全体非负整数 0，1，2，... ，且满足概率分布 P(X=k) = \frac{1}{k!}\lambda^{k}e^{-\lambda}, (\lambda>0) ，则称X服从参数 \lambda 的泊松分布。

小故事：

假设现在共有N个零件，D个不合格，现在这位工人不再一个一个的挑零件了，他一次性的挑出n个零件，则n个零件中不合格零件出现次数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为 0，1，...，min\{D,n\} ,且服从概率分布 P(X=k)=\frac{C_D^kC_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}, 0\leq k \leq min\{D,n\} ，则称X服从超几何分布。

小故事：

某枪手连续向目标进行射击，假设他射中目标的概率为p，则他首次射中目标所需的射击次数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为全体正整数，且满足概率分布 P(X=k) = (1-p)^{k-1}p ，则称X服从参数p的几何分布。

小故事：

还是那位枪手，现在他决定射中r次目标后停止，则他停止所需的射击次数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为 r,r+1,... ，且满足概率分布 P(X=k) = \binom{k-1}{r-1}p^{r-1}(1-p)^{k-r}p ，则称X满足参数p的负二项分布。

这个分布就很简单啦，比如抽签，买彩票等。

定义：

若随机变量X的取值为 1，2，...N，N>1 ，且满足概率分布 P(X=k) = \frac{1}{N} ，则称X服从离散均匀分布。