在前面的文章里，已经带大伙了解了概率论的概率事件类型，以及针对某些事件的发生概率，以及针对全部场景的某事件的发生概率等基本知识。不过对于统计学专业来说，或者实际应用来说，接触最多的还是离散型和连续型概率，以及分析其概率密度与分布函数。所以说这里的内容可以算是概率论真正的支撑核心和基石。 无论你做数据分析，还是说人工智能方向，这是你应该打好的基础中的基础。

在研究生阶段，或者说在实际的工作阶段，经常可以看到关于连续和离散的讨论。我这里不想过多的讨论这个问题，只是简单的说一下，离散型，就相对于散数列，而连续型本质上是运动变化的连续描述。所以把数学上经常见到的两种不同类型的数据做到一张图表上，就是下面这个样子。

这是一张连续信号和离散信号的表达方式。对于概率来说，由于不存在 < 0 < 0 =0.5} 即求解对于连续型概率，样本大于等于0.5后出现的事件概率，即对概率密度函数求积的过程。于是有：

P { X > = 0.5 } = ∫ 0.5 + ∞ f ( x ) d x = ∫ 0.5 1 f ( x ) d x + ∫ 1 ∞ f ( x ) d x P \left \{ X >= 0.5 \right \} = \int_{0.5}^{+\infty} f(x) dx = \int_{0.5}^{1} f(x) dx + \int_1^{\infty} f(x) dx P{X>=0.5}=∫0.5+∞​f(x)dx=∫0.51​f(x)dx+∫1∞​f(x)dx

根据题干给出的条件，可以知道 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = 0 \int_1^{\infty} f(x) dx = 0 ∫1∞​f(x)dx=0，所以问题简化为：

P { X > = 0.5 } = ∫ 0.5 1 f ( x ) d x = ∫ 0.5 1 [ 2 3 + x 2 ] d x P \left \{ X >= 0.5 \right \} = \int_{0.5}^{1} f(x) dx =\int_{0.5}^{1} [\frac{2}{3} + x^2]dx P{X>=0.5}=∫0.51​f(x)dx=∫0.51​[32​+x2]dx

然后根据导积分的运算规则，获得：

P { X > = 0.5 } = ( 2 3 x + 1 3 x 3 ) ∣ 0.5 1 = 5 8 P \left \{ X >= 0.5 \right \} = \left. (\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} x^3) \right |_{0.5}^{1} = \frac{5}{8} P{X>=0.5}=(32​x+31​x3)∣∣∣∣​0.51​=85​

解（3）

我们根据以上各题，可以轻易的得到分布函数F(X)为

F ( X ) = { 0 x < 0 2 3 x + 1 3 x 3 0 ≤ x < 1 1 1 ≤ x F(X) = \left\{\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} x^3 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & 1 \leq x \end{matrix}\right. F(X)=⎩⎨⎧​032​x+31​x31​x