矩阵空间，回顾向量空间的定义，其中最重要的就是线性组合的特点。矩阵也可以进行加法和数乘操作，因此它们也可以进行线性组合，所以满足向量空间的运算要求，只要线性组合是封闭的，那么矩阵就可以使用矩阵空间的概念。如：所有的 3 × 3 3\times 3 3×3的矩阵组成的空间称为矩阵空间 M M M。其中该矩阵空间的子空间有上三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵等等。研究矩阵空间的基类似于研究向量空间的基，只不过，基的维数发生了变化，矩阵空间的基是二维的，向量空间的基是一维的。但是要求基具有线性无关，以及能够生成整个空间的特点是一样的。这就好像把 R n R^n Rn扩展到了 R n × n R^{n\times n} Rn×n。

矩阵空间是向量空间的一种，或者是细化。所谓空间，在数学的本质上是一种集合，在实际中却又能够反应真实生活的空间。矩阵空间是比较特殊的一种，因为一个向量可以定位到空间中的一个点，空间中所有的点充满了整个空间，矩阵空间却不能在实际空间中找到一个点，这就要求我们理解矩阵的几何意义。

矩阵空间的基： 以 3 × 3 3\times 3 3×3的矩阵 M M M为例。在向量空间中，基最简单的形式就是令该向量中某一个数为1，其他的为0。在矩阵中也类似，我们令每个位置上的数分别为1，然后其他的都为0，就会得到矩阵空间的一组基。因为基在每个位置上都是1，如果我们的生成矩阵在该位置上是某个数 c c c，我们只需要用 c c c乘以这个矩阵，然后再加到一起，就可以保证生成时该位置上的数。可以这么理解，同样的是一组数，向量是直接将这组数排成一列，而矩阵是将这组数排成长方形，有行有列的形式。如下面是 3 × 3 3\times 3 3×3的矩阵的一组基： [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] . . . . [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1;0;0\\0;0;0\\0;0;0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0;1;0\\0;0;0\\0;0;0\end{bmatrix}\quad....\quad \begin{bmatrix}0;0;0\\0;0;0\\0;0;1\end{bmatrix}\quad ⎣⎡​100​000​000​⎦⎤​⎣⎡​000​100​000​⎦⎤​....⎣⎡​000​000​001​⎦⎤​基中矩阵的个数便是矩阵空间的维度，所以此矩阵空间的维度为 9 9 9。

比较常见的子空间有三种，对称矩阵空间 （ S ） （S） （S），上三角矩阵空间 （ U ） （U） （U）和对角矩阵空间 （ D ） （D） （D）。实际上，对角矩阵空间又是对称矩阵空间和上三角矩阵空间的交。找对称矩阵重在找到对称矩阵的对称点，对于 3 × 3 3\times 3 3×3的矩阵而言，有6个，如下： [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1;0;0\\0;0;0\\0;0;0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0;1;0\\0;0;0\\0;0;0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0;0;1\\0;0;0\\0;0;0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0;0;0\\0;1;0\\0;0;0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0;0;0\\0;0;1\\0;0;0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0;0;0\\0;0;0\\0;0;1\end{bmatrix}\quad ⎣⎡​100​000​000​⎦⎤​⎣⎡​000​100​000​⎦⎤​⎣⎡​000​000​100​⎦⎤​⎣⎡​000​010​000​⎦⎤​⎣⎡​000​000​010​⎦⎤​⎣⎡​000​000​001​⎦⎤​ 同样的思想：使得每个对称点上的数分别为1，其他的都为0，这样便得到了对称矩阵的一组基。有由基中矩阵的个数可以看出，对称矩阵空间是6维的。 可以发现，这里的6个对称点都在上三角上，当这6个对称点分别为1的时候，就组成了上三角矩阵，我们也可以称之为上三角点。类似的，我们可以得到上三角矩阵的一组基和对称矩阵的一组基是相同的。就是上面的那 6 6 6个矩阵。因而，上三角矩阵的维度也是6。 对角矩阵，我们只关注对角线上的数即可。注意到对角线上只有三个数，所以对角矩阵的一组基为： [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1;0;0\\0;0;0\\0;0;0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0;0;0\\0;1;0\\0;0;0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0;0;0\\0;0;0\\0;0;1\end{bmatrix} ⎣⎡​100​000​000​⎦⎤​⎣⎡​000​010​000​⎦⎤​⎣⎡​000​000​001​⎦⎤​上面的三种矩阵空间是比较常见的，但是还有一种矩阵空间，他是由对称矩阵空间和上三角矩阵空间的和组成 （ S + U ） （S+U） （S+U），实际上这是原空间，比较容易接受的地方是它的维度为 9 9 9，不过，至于为什么为原空间这里不做详细介绍，从维度来理解即可。

这仅仅是一个小插曲，意义在于我们可以将线性代数解空间和基的概念扩展到非矩阵或向量的地方。如： d 2 y d x 2 + d y = 0 \frac{d^2y}{dx^2}+dy=0 dx2d2y​+dy=0上面这个微分方程的两个特殊解是 y 1 = s i n ( x ) 、 y 2 = c o s ( x ) y_1=sin(x)、y_2=cos(x) y1​=sin(x)、y2​=cos(x)。并且该微分方程的通解是 y = c 1 s i n ( x ) + c 2 c o s ( x ) y=c_1sin(x)+c_2cos(x) y=c1​sin(x)+c2​cos(x)。通解也就是解空间，因为在这里他们同样的都是描述集合的概念。该解空间由两个基生成，即 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1​、y2​。这也是一种向量空间，它满足向量空间的特点，具有基，并且基并不是唯一的。

秩为 1 1 1的矩阵就是表示，该矩阵只含有一个主元，显然就只有一个主列。那么，其他的列都是这个列的倍数（或者是线性组合），那么不含有主元的行是含有主元的行的线性组合。如： [ 1 4 5 2 8 10 ] \begin{bmatrix}1;4;5\\2;8;10\end{bmatrix} [12​48​510​]我们可以认为主列是 [ 1 2 ] \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} [12​]，那么其他列都是该列的特定倍数。用向量来表示前面这句话就是 [ 1 2 ] × [ 1 4 5 ] \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1;4;5\end{bmatrix} [12​]×[1​4​5​]这是比较直观的方式，第一列是主列的1倍，第二列是主列的4倍，第三列是主列的5倍。**所以，秩为1的矩阵都可以表示成一个列向量乘以一个行向量的形式。 A = u v T A=uv^T A=uvT

实际上，秩为 n n n的矩阵可以使用 n n n个秩为 1 1 1的矩阵进行表示。