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上一节我们学习了矩阵的加法、数与矩阵相乘以及矩阵与矩阵相乘，这一节我们学习剩余的两个运算：矩阵的转置以及方阵的行列式。

4、矩阵的转置

矩阵的转置和行列式的转置是一样的规则，我们来看一下转置矩阵的定义。

定义5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A^T 。此时 A^T 中的 (i,j) 元，正是 A 中的 (j,i) 元。

例如矩阵

的转置矩阵为

矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：

下面证明一下 (AB)^ T=B^TA^T :

设 A=(a_{ij})_{m\times s} 、 B=(b_{ij})_{s\times n} ，记 AB=C=(c_{ij})_{m\times n} ， (AB)^T=C^T=D=(d_{ij})_{n\times m} ， B^TA^T=E=(e_{ij})_{n\times m} ，于是按矩阵乘法的定义，有

c_{ji}=\sum_{k=1}^{s}{a_{jk}b_{ki}} ，

所以 d_{ij}=c_{ji}=\sum_{k=1}^{s}{a_{jk}b_{ki}} ，

而 B^T 的第 i 行为 (b_{1i},b_{2i},...,b_{si}) ， A^T 的第 j 列为 (a_{j1},a_{j2},...,a_{js}) ，因此

e_{ij}=\sum_{k=1}^{s}{b_{ki}a_{jk}}=\sum_{k=1}^{s}{a_{jk}b_{ki}} ，所以 d_{ij}=e_{ij} ,又由于 D 和 E 都为 n\times m 矩阵，故 D=E ，

亦即 (AB)^ T=B^TA^T 。

设 A 为n阶方阵，如果满足 A^T=A ，即 a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,...,n) ，那么 A 称为对称矩阵，简称对称阵，对称矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

5、方阵的行列式

我们在第一章已经学习了行列式的概念了，下面我们来看一下方阵的行列式的定义：

定义6 由n阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 A 的行列式，记作 det(A) 或 \left| A \right| 。

由 A 确定 \left| A \right| 的这个运算满足下述运算规律（设 A、B 为n阶方阵， \lambda 为数）：

这里有不知道行列式性质的同学，可以复习一下下面的文章：

下面我们来证明一下 \left| AB \right|=\left| A \right|\left| B \right| ：

且仅就 n=2 的情形写出证明， n\geq3 的情形类似可证。设 A=(a_{ij}) ， B=(b_{ij}) 。记四阶行列式

由行列式的按行（列）展开内容可知 D=\left| A \right|\left| B \right| 。具体内容可复习下列章节的引理部分，在下面章节中仅仅证明了行列式的第一行 a_{11} 不等于0，第一行其余元素均为0的情况，上面的行列式 D 可根据证明方法自行转换成下三角行列式，从而得出结果。

今在 D 中以 b_{11} 乘第1列， b_{21} 乘第2列都加到第3列上；再以 b_{12} 乘第1列， b_{22} 乘第2列都加到第4列上，即

其中二阶矩阵 X=(x_{ij}) ，因 x_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j} ，所以 X=AB ，所以 D=\left| -E \right|\left| X \right|=(-1)^2\left| X \right|=\left| AB \right| ，又因为 D=\left| A \right|\left| B \right| ，所以 \left| AB \right|=\left| A \right|\left| B \right| 。

对于n阶矩阵 A、B ，一般来说 AB\ne BA ，但总有 \left| AB \right|=\left| BA \right| ，因为 \left| BA \right|=\left| B \right|\left| A \right|=\left| A \right|\left| B \right| ，所以 \left| AB \right|=\left| BA \right| 。

下面我们介绍一个重要概念：伴随矩阵。

行列式 \left| A \right| 的各个元素的代数余子式 A_{ij} 所构成的如下的矩阵

称为矩阵 A 的伴随矩阵，简称伴随阵。同时 AA^*=A^*A=\left| A \right|E

上述对应元素的代数余子式不在和元素相对应的位置，而是转置了一下，大家注意，不要求错伴随矩阵。

证明：设 A=(a_{ij}) ，记 AA^*=(b_{ij}) ，则

故

类似地，记 A^*A=(c_{ij}) ，则

故

所以 AA^*=A^*A=\left| A \right|E .

这一节我们学习了矩阵的转置以及方阵的行列式两种运算，又介绍了伴随矩阵的概念及性质。伴随矩阵的概念及性质是下一节逆矩阵的基础，我们将通过伴随阵求出矩阵的逆矩阵。

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