参考书籍为： 本笔记主要是为了方便自己日后复习。由于未学习LaTeX，我会上传教材图片或者手写图片代替部分公式或内容。博客主要分为两部分：【1 书本内容】与【2 听课笔记】，前者为对教材中重要定理、定义的整理，后者为自己在矩阵上课时的笔记的二次书面整理。根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。

本篇博客是关于第一章的内容，下面开始即为正文。

本篇博客将简要地介绍线性空间，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F。

1、线性空间：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义了加法运算，即对于V中任意两个元素α与β，在V中都有唯一的元素v与它们相对应，称之为α与β的和，记为v=α+β，并且加法运算满足下面四条法则：

（1）交换律：α+β=β+α；

（2）结合律：α+(β+γ)=(α+β)+γ；

（3）零元素：在V中有一元素0（称作零元素），对于V中任一元素α都有α+0=α；

（4）负元素：对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α+β=0。

上面四条法则中，α、β、γ为V中的任意三个元素，α、β、γ∈V。除此之外，在集合V中的元素与数域F中的数之间还定义了一种运算，叫做数乘，即对于V中任一元素α与F中任一数k，在V中有唯一的一个元素η与它们对应，称为k与α的数乘，记为η=k·α=kα，并且数乘运算满足下面四条法则：

（1）1·α=α；

（2）(kl)α=k(lα)；

（3）(k+l)α=kα+lα；

（4）k(α+β)=kα+kβ。

上面四条法则中，k，l为F中的任意两个数，k、l∈F。则称集合V为数域F上的线性空间。

2、矩阵的核空间/零空间：设A为实数域（或复数域）上的m×n阶矩阵，易证：齐次线性方程组Ax=0的所有解（包括零解）的集合构成实数域（或复数域）上的线性空间。此空间为方程组Ax=0的解空间，也称为矩阵A的核空间或零空间，用N(A)表示。

3、矩阵的值域/列空间：设A为实数域（或复数域）上的m×n阶矩阵，x为n维列向量，则m维列向量集合V={y∈Rm(或Cm) I y=Ax,x∈Rn(或Cn),A∈Rm×n(Cm×n)}构成实数域（或复数域）上的线性空间，称为A的列空间或A的值域，用R(A)表示。

4、线性表示/线性组合：设V是数域F上的线性空间，α1,α2,…,αr是V中的任意一组向量（其中r≥1），k1,k2,…,kr是数域F中的一组数。若向量α可以表示成α=k1α1+k2α2+…+krαr，则称α可由α1,α2,…,αr线性表示或线性表出，同时也可以称α是α1,α2,…,αr的线性组合。

5、线性相关/线性无关：设α1,α2,…,αr是线性空间V中的一组向量（其中r≥1）。如果在数域F中有r个不全为零的数k1,k2,…,kr，使得k1α1+k2α2+…+krαr=0，则称α1,α2,…,αr线性相关。如果一组向量α1,α2,…,αr不线性相关，就称为线性无关。换言之，若k1α1+k2α2+…+krαr=0当且仅当k1=k2=…kr=0，便称α1,α2,…,αr线性无关。一组向量要么线性相关，要么线性无关，非此即彼。

6、线性表出唯一定理：设线性空间V中向量组α1,α2,…,αm线性无关，且向量组α1,α2,…,αm,β线性相关，则β可由α1,α2,…,αm线性表出，且表出是唯一的。

1、基、坐标、维数：设数域F上的线性空间V中有n个线性无关向量α1,α2,…,αn，而且V中任何一个向量α都可由α1,α2,…,αn线性表出：α=k1α1+k2α2+…+knαn，则称α1,α2,…,αn为V的一个基，(k1,k2,…,kn)T为α在基α1,α2,…,αn下的坐标，称V为n维线性空间，并记dimV=n。

2、过渡矩阵：设α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是V中的任意两个基，它们之间的关系是： 上图中i=1,2,…,n。将这n个关系式用矩阵记号可以表示成： 记n阶方阵为P： 称矩阵P是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵。矩阵P一定是可逆的，所以由基β1,β2,…,βn到基α1,α2,…,αn的过渡矩阵为P-1。可写成(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P或者(α1,α2,…,αn)=(β1,β2,…,βn)P-1。

3、坐标变换：设ξ∈V，若ξ在基α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn下的坐标分别为(x1,x2,…,xn)T与(y1,y2,…,yn)T，即若有： 则有： 其中，矩阵P是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵。称上图的两个公式为坐标变换公式。

4、使用可逆矩阵将旧的一个基变成新的一个基：设α1,α2,…,αn为线性空间V的一个基，A为可逆矩阵，记(α1,α2,…,αn)P为β1,β2,…,βn，即(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P，则β1,β2,…,βn也为V的一个基。

1、线性子空间：设W是数域F上的线性空间V的一个非空子集，若W关于V的加法和数乘运算也构成线性空间，则称W是V的一个线性子空间，简称为子空间，dim W ≤ dim V。

2、平凡子空间：在线性空间V中，由单个零向量“0”构成的集合是一个线性子空间，称为V的零子空间。在线性空间V中，V本身也可看成是一个线性子空间。这两个子空间称为V的平凡子空间，其他子空间称为为非平凡子空间。

3、生成子空间：设α1,α2,…,αs是线性空间V中一组向量，则集合span{α1,α2,…,αs}={k1α1+k2α2+…+ksαs|∀ki∈F}是非空集合，则span{α1,α2,…,αs}是V的线性子空间。称非空子集span{α1,α2,…,αs}是由向量α1,α2,…,αs生成的生成子空间。

4、生成子空间的维数：dim span{α1,α2,…,αs}=rank{α1,α2,…,αs}，其中rank{α1,α2,…,αs}是向量组α1,α2,…,αs的秩。向量组α1,α2,…,αs的任何一个极大线性无关组均可作为span{α1,α2,…,αs}的一个基。

5、生成子空间之间的等价：若α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt都是n维向量组，则span{α1,α2,…,αs}=span{β1,β2,…,βt}⇔α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt等价，即α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt可以互相线性表示。

6、交空间与和空间：设V1，V2是线性空间V的两个子空间，命V1∩V2={αlα∈V1且α∈V2}，则V1∩V2构成V的线性子空间。称V1∩V2为V1与V2的交空间。命V1+V2={α=α1+α2lα1∈V1且α2∈V2}，则V1+V2构成V的线性子空间。称V1+V2为V1与V2的和空间。

7、生成子空间的和：设V1=span{α1,α2,…,αs}，V2=span{β1,β2,…,βt}，则V1+V2=span{α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt}。

8、维数公式：设V1与V2是线性空间V的两个子空间，则dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)。

9、直和：如果W1+W2中的任何一个向量均可以唯一分解成W1和W2中的两个向量之和，则称W1+W2为直和，记为W1⊕W2。

10、直和的判定：设W1，W2是线性空间V的两个子空间，则下列命题等价：① W1+W2是直和；② 0的分解唯一；③ W1∩W2={0}；④ dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)；⑤ W1，W2的基一起构成W1+W2的基。

11、直和分解与代数补：设W，W1，W2是线性空间V的三个子空间，且W=W1⊕W2，则称W有一个直和分解。特别地，若W=V=W1⊕W2，便称W1和W2是线性空间V的一对互补的子空间，或称W1是W2的代数补子空间，也可称W2是W1的代数补子空间。

12、代数补子空间存在定理：设U是线性空间V的一个子空间，则一定存在U的代数补子空间W，使得V=U⊕W。

1、线性映射：设V1，V2是数域F上的两个线性空间，映射𝒜：V1→V2，如果对于任何两个向量α1，α2∈V1和任何数λ∈F，都有𝒜(α1+α2)=𝒜(α1)+𝒜(α2)；𝒜(λα1)=λ𝒜(α1)，便称映射𝒜是由定义域V1到像集α2的线性映射。称α1为𝒜(α1)的原像，𝒜(α1)为α1的像。

2、线性映射的性质：① 𝒜(0)=0；② ∀αi∈V，∀ki∈F，有𝒜(Σi∈[1,s]kiαi)=Σi∈[1,s]ki𝒜(αi)；③ 设α1,α2,…,αs∈V1，α1,α2,…,αs线性相关，则𝒜(α1)，𝒜(α2)，…，𝒜(αs)也线性相关。特别要注意，若α1,α2,…,αs∈V1，且线性无关，则𝒜(α1)，𝒜(α2)，…，𝒜(αs)不一定线性无关。

3、线性映射对应的矩阵：设α1,α2,…,αn是V1的一个基，β1,β2,…,βm是V2的一个基，𝒜是V1→V2的一个线性映射，则： 记矩阵A为： 则：𝒜(α1,α2,…,αn)=(β1,β2,…,βm)A，矩阵A称为线性映射𝒜在基(α1,α2,…,αn)与基(β1,β2,…,βm)下的矩阵表示。

4、原像与像的坐标关系：设α1,α2,…,αn是V1的一个基，∀α∈V1，故： α的像𝒜(α)∈V2，设β1,β2,…,βm是V2的一个基，则𝒜(α)可写为： 又因为： 而上式等于： 而矩阵A为： 所以： 记上式为y=Ax，其中y=(y1,y2,…,ym)T，x=(x1,x2,…,xn)T，【y=Ax】称为线性映射𝒜在给定基(α1,α2,…,αn)与(β1,β2,…,βm)下向量坐标变换公式，即原像与像的坐标关系。

5、矩阵对应的线性映射：设V1的基为α1,α2,…,αn，V2的基为β1,β2,…,βm，给定m×n矩阵A=(aij)m×n，则存在唯一的线性映射𝒜，𝒜在这两个基下的矩阵表示为A。

6、线性映射在不同对基下的矩阵是等价的：设𝒜是V1→V2的一个线性映射，α’1,α’2,…,α’n与α1,α2,…,αn是V1的两个基，由αi到α’i的过渡矩阵为P。设β’1,β’2,…,β’m与β1,β2,…,βm是V2的两个基，由βj到β’j的过渡矩阵为Q。线性映射𝒜在基α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βm下的矩阵表示为A，在基α’1,α’2,…,α’n与β’1,β’2,…,β’m下的矩阵表示为B，则B=Q-1·A·P。

7、矩阵等价：设A，B∈Fm×n，若存在Q∈Fm×m，P∈Fn×n，满足B =Q·A·P，则称B与A等价。

8、矩阵与线性映射的关系：任何一个线性映射𝒜：Vn→Vm都有一系列的m×n矩阵表示：A，B，….。这些矩阵之间是互相等价的。互相等价的m×n矩阵代表同一个线性映射。原像α的坐标x=(x1,x2,…,xn)T与像𝒜(α)的坐标y=(y1,y2,…,ym)T之间满足式：y=Ax，这也揭示了m×n矩阵A是Cm→Cn的一个线性映射，它与线性映射𝒜：Vn→Vm是对应的。因此，一般的线性空间Vn与特殊的向量空间Fm同构（后面的1.7节会讨论同构），线性映射𝒜可用矩阵A代表。

1、线性映射的值域：设𝒜是线性空间V1到V2的线性映射，命𝒜(V1)={𝒜(α)|∀α∈V1}，𝒜(V1)是V2的线性子空间。称𝒜(V1)是线性映射𝒜的值域，记之为R(𝒜)，称dim R(𝒜)为𝒜的秩，记之为rank𝒜。

2、线性映射的值域的表示：设𝒜是线性空间V1到V2的线性映射，α1,α2,…,αn是V1的基，β1,β2,…,βm是V2的基。在该对基下的矩阵表示为A=(aij)m×n，则：① R(𝒜)=span{𝒜(α1),𝒜(α2),…,𝒜(αn}；② rank 𝒜=rank A。

3、线性映射的核：设𝒜是线性空间V1到V2的线性映射，命𝒜-1(0)={α|𝒜(α)=0，α∈V1}。𝒜-1(0)是V1的线性子空间，称𝒜-1(0)是线性映射𝒜的核子空间，记之为N(𝒜)，称dim N(𝒜)为𝒜的零度。若dim N(𝒜)=0，则线性无关向量组α1,α2,…,αr∈V1的像𝒜(α1),𝒜(α2),…,𝒜(αr)∈V2也线性无关。

4、线性映射的零度与秩之和为V1的维数：𝒜是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射，则dim N(𝒜)+dim R(𝒜)=n。

5、矩阵的核空间与列空间的秩之和为矩阵的列数：若m×n矩阵A的秩为r，则对于齐次线性方程组Ax=0的解空间/核空间N(A)，有dim N(A)=n-r，A的列空间R(A)满足dim R(A)=r，于是dim N(A)+dim R(A)=n。

6、线性映射的值域与矩阵的值域：设𝒜是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射，α1,α2,…,αn是V1的一个基，β1,β2,…,βm是V2的一个基。线性映射𝒜在这对基下的矩阵表示是m×n矩阵A=(A1,A2,…,An)，其中Ai=(a1i,a2i,…,ami)T是m维列向量，i=1,2,…,n。于是：𝒜(α1,α2,…,αn)=(β1,β2,…,βm)A，因此𝒜(αi)=(β1,β2,…,βm)Ai，i=1,2,…,n。𝒜的值域R(𝒜)=span{𝒜(α1),𝒜(α2),…,𝒜(αn)}=span{(β1,β2,…,βm)A1,(β1,β2,…,βm)A2,…,(β1,β2,…,βm)An}，而矩阵A的值域R(A)={y|Ax=y,x∈Rn}，若取xi=(0,…,0,1,0,…,0)T，则Axi=Ai，i=1,2,…,n，所以R(A)=span{A1,A2,…,An}。综上所述：R(𝒜)与R(A)的表达式相同，即线性映射𝒜的值域与矩阵A的值域是一致的，只要把A的值域引进基，这样就与𝒜的值域完全相同。

7、线性映射的核与矩阵的核：设𝒜是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射，α1,α2,…,αn是V1的一个基，β1,β2,…,βm是V2的一个基。线性映射𝒜在这对基下的矩阵表示是m×n矩阵A，设X∈V1，则X可表示为： 列向量(x1,x2,…,xn)T是V1中向量X在基α1,α2,…,αn下的坐标。N(𝒜)中的向量X一定满足： 则有： 根据β1,β2,…,βm线性无关，得： 上式就是矩阵A的核(x1,x2,…,xn)T所满足的方程式。由此可见，𝒜的核N(𝒜)中的向量X在基α1,α2,…,αn下的坐标(x1,x2,…,xn)T满足矩阵A的核空间中的向量所满足的方程。因此线性映射𝒜的核与矩阵A的核是一致的，只要把矩阵A的核引进“基”以后就与线性映射𝒜的核完全相同。

1、线性变换中原像α与像𝒜(α)的坐标变换：若线性映射𝒜是指线性空间V到线性空间V的映射，称这样的𝒜为线性空间V的线性变换。由于线性变换是线性空间V到自身的映射，所以只需取V的一个基α1,α2,…,αn即可。设𝒜是线性空间V的线性变换，α1,α2,…,αn是V的一个基，若： 所以𝒜在α1,α2,…,αn下的矩阵表示——A是n阶方阵。设： 若： 则原像α与像𝒜(α)的坐标变换公式为：

2、线性变换在不同对基下的矩阵是相似的：设𝒜是V到V的线性变换，α1,α2,…,αn与α’1,α’2,…,α’n是V的两个基。由α1,α2,…,αn到α’1,α’2,…,α’n的过渡矩阵为P，线性变换𝒜在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示为A，在基α’1,α’2,…,α’n下的矩阵表示为B，则：B=P-1AP。

3、矩阵相似：设A，B∈Fn×n，若存在P∈Fn×n，满足B=P-1AP，则称B与A相似，记之为B～A。相似有三个性质：① 自反性：A～A；② 对称性：若B～A，则A～B；③ 传递性：若A～B，B～C，则A～C。

4、线性变换的运算：设𝒜，ℬ是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积𝒜ℬ为𝒜ℬ(α)=𝒜(ℬ(α))，α∈V。定义线性变换的加法(𝒜+ℬ)为(𝒜+ℬ)(α)=𝒜(α)+ℬ(α)。定义数量乘法k𝒜为(k𝒜)(α)=k𝒜(α)。V的线性变换𝒜称为可逆的，如果有V的线性变换ℬ存在，满足𝒜ℬ=ℬ𝒜=E，其中E是恒等变换，这时变换ℬ称为𝒜的逆变换，记为𝒜-1。不难验证，上述定义的𝒜+ℬ，𝒜ℬ，k𝒜与𝒜-1都是线性变换。

5、线性变换的运算对应于矩阵的运算：在n维线性空间中取定一个基后，其上的一个线性变换𝒜就与一个n阶矩阵一一对应，而且这个对应保持在线性变换的运算上。设α1,α2,…,αn是n维线性空间V的一个基，在这个基下，线性变换𝒜对应于一个n阶矩阵A，线性变换ℬ对应于一个n阶矩阵B。这个对应具有以下的几个性质：

（1）线性变换𝒜与ℬ的和𝒜+ℬ对应于矩阵A与B的和A+B；

（2）线性变换𝒜的数量乘积k𝒜对应于矩阵A的数量乘积kA；

（3）线性变换𝒜与ℬ的积𝒜ℬ对应于矩阵A与B的积AB；

（4）若线性变换𝒜可逆，即𝒜-1存在，则𝒜对应的矩阵A可逆，且𝒜的逆变换𝒜-1对应于矩阵A的逆矩阵A-1。

1、同构映射：V1与V2是两个不同的线性空间，若存在V1到V2上的一个一一对应δ，使得对于所有向量α，β∈V1，数λ∈F都有：

（1）δ(α+β)=δ(α)+δ(β)；

（2）δ(λα)=λδ(α)。

则此一一对应δ称为V1到V2的同构映射，称V1与V2是同构的。举个栗子：n维线性空间V取定一组基α1,α2,…,αn后，则V中的向量与它的坐标(x1,x2,…,xn)T之间的一一对应是从V到Fn上的一个同构映射，且数域F上任一个n维线性空间都与n维列向量空间Fn同构。

2、同构映射的基本性质：

（1）δ(0)=0，δ(-α)=-δ(α)；

（2）δ(k1α1+k2α2+…+ksαs)=k1δ(α1)+k2δ(α2)+…+ksδ(αs)；

（3）V中向量组α1,α2,…,αs线性相(无)关⇔像δ(α1),δ(α2),…,δ(αs)线性相(无)关；

（4）如果V1是V的一个子空间，则V1在δ下的像集合δ(V1)={δ(α)|α∈V1}是δ(V)的子空间，并且V1与δ(V1)维数相同。

3、两个线性空间同构则维数相同：数域F上两个有限维线性空间同构⇔这两个线性空间有相同的维数。维数是有限维线性空间唯一的本质特征。举个栗子：根据同构映射的定义，R2×2中矩阵： 可以看做R4中的向量(α11,α12,α21,α22)T。

1、线性变换的特征值与特征向量：设𝒜是数域F上的n维线性空间V的线性变换，如果在V中存在一个非零向量α使得𝒜(α)=λ0α，其中λ0∈F，则称λ0是𝒜的一个特征值，称α是𝒜的属于特征值λ0的一个特征向量。从几何上看，变换前后的特征向量仍然共线，或者方向不变(λ0>0)，或者方向相反(λ0