在统计学中，简称为var这三个字母的一般有三种意思，第一个就是方差(Variance)，记为Var，第二个就是在险价值(Value at Risk)，记为VaR，第三个就是向量自回归模型(Vector Auto-Regression)，记为VAR。我们今天要介绍的这个VaR就是在险价值，后面有时间会再介绍向量自回归。

　　在统计学中，简称为var这三个字母的一般有三种意思，第一个就是方差(Variance)，记为Var，第二个就是在险价值(Value at Risk)，记为VaR，第三个就是向量自回归模型(Vector Auto-Regression)，记为VAR。我们今天要介绍的这个VaR就是在险价值，后面有时间会再介绍向量自回归。

　　VaR的定义

　　Definition

　　我们先来给出一个通俗易懂的文字定义，在险价值是指在一定置信水平下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。如下图，假设它是一个金融资产收益率的统计分布，那么它的在险价值就是使得红色面积占总面积(总面积为1)5%的那个分位点，这个5%一般用alpha表示，称为置信度，那么1-alpha=95%，称为置信水平。

　　VaR的数学表达可以表示如下：

　　这里的X%即是指置信水平，可以取95%，有3点需要说明：(1)一定的置信水平，也就是说在险价值是alpha分位点;(2)要指定未来的存续时期，明显金融资产的存续时期越长，它的在险价值越大;(3)如果是对称分布，那么它的上alpha分位点和下alpha分位点的绝对值相等，这个可以从图直观地看到。

　　由统计学里面的置信水平的定义，我们知道在险价值描述的是一种可能性，它是指在未来一段时间我有95%的可能性说明我的金融资产最大损失为VaR，即5%分位点。而不是说在未来一段时间，我的金融资产一定不会亏损大于VaR!如果你对50ETF的历史日对数收益率拟合一个正态分布(见下图)，那么它5%分位点为1.65倍标准差(这个可以在正态分布的表中查到)，大约为3.045。这就是说，根据历史数据的统计，在接下来一天里我有95%的可能性，50ETF单日收益率不会再小于-3.045%。注意!这里仅仅是个95%的可能性，看似可能性好像非常高，但其实50ETF或者A股其他任何一个指数，单日收益率跌破-3.045%还是经常发生的，毕竟A股2015年7月份股灾1.0时代、8月份股灾2.0时代和16年1月份股灾3.0时代，上证50指数接近跌停都是时有发生的事。

　　计算VaR的方法有很多，今天我们将介绍两个常见的方法，风险度量制和计量经济学方法。

　　风险度量制

　　Risk Measure Method

　　J.P. Morgan于1995年将风险度量制方法发展到了VaR的计算当中。假设资产的日对数收益率服从一个正态分布，如下：

　　Ft-1表示t-1时刻的信息集，ut是条件均值，sigmat是条件方差。那么如何估计条件均值和条件方差呢?自然而然会想到公众号之前推送了很多期的ARMA和GARCH模型，ARMA就是均值方程，可以预测收益率，GARCH是波动率方程，可以预测收益率的波动率。那么，J.P. Morgan提出的风险度量制是假设收益率序列满足如下的一个IGARCH(1,1)模型：

　　这里还假设了rt=at=sigmat*et，alpha通常取(0/9,1)上，一个代表的值为0.94.

　　利用这样一个IGARCH(1,1)模型，并结合对数收益率的多期收益率等于单期收益率之和这个性质，还能够很简单地推导出多期收益率的具体分布。推导如下(微信打公式实在太难，就直接截图了)：

　　这个推导得到的核心结果就是，在IGARCH(1,1)的假设下，多期波动率就是期数乘以单期波动率，即：

　　于是，多期收益率分布就是：

　　他还是个正态分布，有了分布就可以很简单地导出分位点了!!!看来大神们的假设都是有目的的。很容易得到单期的5%分位点为：

　　k期的5%分位点为：

　　来一个简单的例子，还是上证50ETF日对数收益率序列，假设某人持有价值10000RMB的上证50ETF基金，那么他持有一天和10天的在险价值VaR为：

　　这里面有多重假设前提存在，(1)假设了对数收益率是0均值，(2)假设了IGARCH(1,1)模型。如果均值非0，那么，在险价值(单期和多期)要做相应的改变，如下：

　　上面例子，计算结果为：

　　相较于0均值假设下，这里的VaR变大了!

　　计量经济方法

　　Econometric

　　计算VaR的计量经济方法就是，先用ARMA和GARCH模型分别拟合一个均值方程和波动率方程。利用均值方程和波动率方程向后进行多期的预测，利用此预测的值直接计算VaR。

　　对于对数收益率，我们前期介绍了很多，它的时间序列模型为：

　　它的一步向前预测为：

　　如果假设它的噪声项et服从高斯分布，则给定t时刻的信息集的条件下，rt+1的条件分布服从：

　　因此，它的95%分位点为：

　　如果是向前推k步，也可以得到对应期的VaR!

　　还是上面的例子，计算的结果如下：

　　至于为什么持有1天比持有10天的VaR还大，这就得从计量经济学计算方法说明了，计量方法的VaR值主要受预测的均值和波动率影响，它是市场实时交易状态的一种反应。最近，50ETF的波动率持续降低，自然而然，通过这种方法计算的VaR也会降低。至于VaR计算的风险度量制，根据其公式，这种方法下计算的VaR随着持有期的增加而增加，直观理解上貌似合理，因为人们总是认为，一个风险资产持有1期的风险总是比持有10期的风险低。但是，这种方法仅仅是历史分布的拟合结果，没有考虑实时的市场交易状态，恰恰是不合理的。

　　总结

　　summary

　　本期介绍了VaR的概念，并简单介绍了计算VaR的两种方法：风险度量制和计量经济学方法，并举例计算了持有50ETF基金时的VaR。VaR的计算方法有很多，有些方法也是非常地复杂。需要注意的是VaR是在一定置信水平下得到的，而不是100%的确定性值。

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