初识布朗（Brown）运动

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初识布朗（Brown）运动

2024-07-10 21:33| 来源: 网络整理| 查看: 265

Brown运动的研究历史悠久，英国学家Robert Brown于1827年通过显微镜研究花粉在液体中的运动就意识到，具有随机性和不规则性的运动在自然界普遍存在，Brown运动由此得名。它是显示中经常遇到的Gauss过程，结构独特，兼具Gauss过程、Markov过程，鞅过程等基本随机模型的特性，性质非常丰富，可以从许多方面对它进行研究。由于该运动的复杂性，这里也只是说明一下它的基本性质，目的在于对它有一点粗浅的理解，更深层次的等以后碰到了再进行挖掘吧。

在引出Brown运动以前，首先说明一下什么叫做正交增量过程。

正交增量过程

定义：对于二阶矩过程 $X(t),t\in \mathbb{R}$ ，如果对于 $\forall t_1t_2\leq t_3t_4，t_1、t_2、t_3、t_4\in \mathbb{R}$ 满足

$E[(X(t_4)-X(t_3))(X(t_2)-X(t_1)]=0$

则该过程就称为正交增量过程。定义表明了，正交增量过程在不同的时段的增量彼此正交，它与相关运算相互联系。

假设在t为0的时刻，X(0)=0，那么可以得到正交增量过程的自相关 $R_X(t,s)$

$R_X(t,s)=E(X(t)X(s))=E((X(t)-X(s)+X(s))X(s))\\=E((X(t)-X(s))X(s))+E(X(s)^2)\\=E((X(t)-X(s))(X(s)-X(0)))+E(X(s)^2)$

由于该过程是正交增量过程，所有前面一项的统计均值为0，得到 $R(t,s)=E(X(s)^2)$ ，这里的时间是假设是s0时为1，x (ODE)

b是给定的 $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ 的向量场，结果是一条光滑的轨迹。这里就是对 $\dot{\mathbf{x}(t)}$ 在时间t大于0的时候求导。然而现实中测出的轨迹不像预测的那样准确，会有波动，如下图所示：

实际轨迹

所以这个常微分方程在某种程度上应该加上随机效应来当做扰动模型。一个正式的写法如下：

$\begin{cases}\\dot{\mathbf{X}(t) }=\mathbf{b} \mathbf{(X}(t))+\mathbf{B} \mathbf{(X}(t))\mathbf{\xi }(t) \quad t0 \\\mathbf{X} (0)=x_0\end{cases}$

其中 $\mathbf{B}:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{M}^{n×m}$ 的矩阵， $\xi (t)$ 是m维的白噪声。由于篇幅的问题，这里的数学问题就不考虑了，重要的是我也不懂，直接往下走。如之前证明的，布朗运动的导数相关为冲激函数（白噪声），可以得到;

$\dot{\mathbf{W}}(\cdot )=\mathbf{\xi} (\cdot )$

因此插入白噪声其实就相当于带入对维纳过程的导数，所以加入噪声之后的随机微分方程可以写成;

$\frac{ {d\mathbf{X}(t) }}{dt}=\mathbf{b} \mathbf{(X}(t))+\mathbf{B} \mathbf{(X}(t))\frac{d\mathbf{W}(t)}{dt}$

所以可以得到随机微分方程：

$\begin{cases}\d\mathbf{X}(t)=\mathbf{b} \mathbf{(X}(t))dt+\mathbf{B} \mathbf{(X}(t)d\mathbf {W}(t) \quad t0 \\\mathbf{X} (0)=x_0\end{cases}$

以上都是在n维的情况下的，现在我们讨论在一维的情况下，这就是Ito公式：

$dX = b(X) dt+dW$

对于 $f(t,B(t))$ 对它求导为：

$df(t,B(t))=\frac{\partial f}{\partial t}dt+ \frac{\partial f}{\partial B}dB(t)$

由于 $B(t)$ 为 $N(0,t)$ ，所以 $dB(t)$ 为 $N(0,dt)$

$E(dB(t))^2=dt\implies (dB(t))^2\sim dt\implies dB(t) \sim \sqrt{dt}$

上面的求导公式应该展开到二阶项才会有dt这一项，所以：

$df(t,B(t))=\frac{\partial f}{\partial t}dt+ \frac{\partial f}{\partial B}dB(t)+\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial B^2}(dB(t))^2\\=(\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial B^2})dt+ \frac{\partial f}{\partial B}dB(t)$

这就是Ito公式。根据该公式可以对Brown运动求导。

例：比如对 $\frac{1}{2}B(t)^2$ 求导，根据Ito公式可得：

$d(\frac{1}{2}B(t)^2 )=\frac{\partial\frac{1}{2}B(t)^2 }{\partial t} dt+\frac{\partial\frac{1}{2}B(t)^2 }{\partial B(t)} dB(t)+\frac{\partial^2\frac{1}{2}B(t)^2 }{\partial B(t)^2} dt$

$\implies d(\frac{1}{2}B(t)^2 )=B(t)dB(t)+\frac{1}{2} dt$

参考资料

《随机过程及其应用》（第二版）陆大絟张颢

《AN INTRODUCTION TO STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS VERSION 1.2》 Lawrence C. Evans Department of Mathematics UC Berkeley

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