矩阵等价,相似,合同之间的区别和联系 |
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矩阵相似、合同之间没有充要关系,存在相似但不合同的矩阵,也存在合同但不相似的矩阵。 总结起来就是:相似=>等价,合同=>等价,等价=>等秩矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件,相似、合同、等价是等秩的充分条件。合同是存在非异矩阵P,使得PAP‘=B,注意,这里P’是P的转置,而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征,负特征数目一样。 扩展资料矩阵的分解 主条目:矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积,矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。 三角分解设 谱分解谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 奇异值分解假设M是一个m×n阶矩阵,其中的元素全部属于域K,也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得 其中U是m×m阶酉矩阵;Σ是m×n阶实数对角矩阵;而V*,即V的共轭转置,是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 [19] 。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。 满秩分解设 LUP分解LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P,满足 |
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