1、设S,M是两个集合，则集合 \(\{(a,b)|a \in S,b \in W\}\) 称为S与M的笛卡儿积，记作：\(S \times M\)。

2、定义1：设S是一个非空集合，我们把\(S \times S\)的一个子集W叫做S上的一个二元关系。如果\(a,b)\in W\)，那么称a与b有W关系；反之没有W关系。当a与b有W关系时，记作aWb，或\(a\sim b\)。

3、定义2：集合S上的一个二元关系\(\sim\)如果具有下述性质：\(\forall a,b,c\in S\)，有

那么称\(\sim\)是S上的一个等价关系。

4、定义3：设\(\sim\)是S上的一个等价关系，\(a\in S\)，令

则称\(\bar{a}\)是由\(a\)确定的等价类。

事实1：\(a\in \bar{a}于是也把\bar{a}称为a的等价类。\)

事实2：\(x\in bar{a}\iff x\sim a.\)

事实3：\(\bar{x}=\bar{y}\iff x\sim y.\)

5、定理1：设\(\sim\)是集合S上的一个等价关系，任取\(a,b\in S\)，则\(\bar{a}=\bar{b}\)或者\(\bar{a}\cap\bar{b}=\varnothing\).

6、定义4：如果集合S是一些非空子集\(S_i（i\in I，这里I表示指标集）\)的并集，并且其中不相等的子集一定不相交，那么称集合\(\{S_i|i\in I\}\)是S的一个划分，记作：\(\pi(S)\)。

7、定理2：设\(\sim\)是集合S上的一个等价关系，则所有等价类组成的集合是S的一个划分，记作：\(\pi_\sim(S)\)。

8、定义5：设\(\sim\)是集合S上的一个等价关系。由所有等价类组成的集合称为S对于关系\(\sim\)的商集，记作：\(S/\sim\)。

1、定义1：对于数域K上\(s \times n\)矩阵A和B，如果从A经过一系列初等行变换和初等列变换能变成矩阵B，那么称A与B是相抵的，记作：\(A\overset{相抵}{\sim}B\)。

容易验证相抵是\(M_{s \times n}(K)\)上的一个等价关系。在相抵关系下，矩阵A的等价类称为A的相抵类。

事实1：数域K上\(s \times n\)矩阵A和B相抵

2、定理1：设数域K上\(s \times n\)矩阵A的秩为r。如果\(r>0\)，那么A相抵于下述形式的矩阵：

称矩阵（2）为A的相抵标准形；如果r=0，那么A相抵于零矩阵，此时称A的相抵标准形是零矩阵。

3、定理2：数域K上\(s \times n\)矩阵A和B相抵当且仅当它们的秩相等。

4、推论1：设数域K上\(s \times n\)矩阵A的秩为\(r(r>0)\)，则存在K上的s级、n级可逆矩阵P、Q，使得

1、定理1：设A是数域K上\(s \times n\)非零矩阵，则矩阵方程

一定有解。如果\(tank(A)=r\)，并且

其中P、Q分别是K上s级、n级可逆矩阵，那么矩阵方程（2）的通解为

其中B、C、D分别是数域K上任意的\(r \times (s-r),(n-r) \times r,(n-r)\times (s-r)\)矩阵。

2、定义1：设A是数域K上\(s \times n\)矩阵，矩阵方程AXA=A的每一个解都称为A的一个广义逆矩阵，简称A的广义逆，用\(A^-\)表示A的任意一个广义逆。

任意一个\(s \times n\)矩阵都是\(0_{s \times n}\)的广义逆。

3、定理2（非齐次线性方程组的相容定理）：非齐次线性方程组\(AX=\beta\)有解的充分必要条件是：

4、定理3（非齐次线性方程组的解的结构定理）：非齐次线性方程组\(AX=\beta\)有解时，它的通解为：

5、定理4（齐次线性方程组的解的结构定理）：数域K上n元齐次线性方程组AX=0的通解为：

其中\(A^-\)是A的任意给定的一个广义逆，Z取遍\(K^n\)中任意列向量。

推论1：设数域K上n元非齐次线性方程组\(AX=\beta\)有解，则它的通解为

其中\(A^-\)是A的任意给定的一个广义逆，Z取遍\(K^n\)中任意列向量。

6、定义2：设A是复数域上\(s \times n\)矩阵，矩阵方程组

称为A的Penrose 方程组，它的解称为A的Moore-Penrose 广义逆，记作：\(A^+\)。（8）式中\((AX)^*\)表示把AX的每个元素取共轭复数得到的矩阵再转置。

7、定理5：如果A是复数域上\(s \times n\)非零矩阵，A的 Penrose 方程组总是有解，并且它的解唯一。设A=BC，其中B、C分别是列满秩与行满秩矩阵，则 Penrose 方程组的唯一解是

1、定义1：设A与B都是数域K上n级矩阵，如果存在数域K上一个n级可逆矩阵P，使得

那么称A与B是相似的，记作：\(A\sim B\)。

相似关系是一种等价关系，相似关系下的等价类称为相似类。相似具有下列性质：

性质1：如果\(B_1=P^{-1}A_1P,\,B_2=P^{-1}A_2P\)，那么

其中m是正整数。

性质2：相似的矩阵其行列式的值相等。

性质3：相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；当他们可逆时，它们的你矩阵也相似。

性质4：相似的矩阵有相等的秩。

2、定义2：n级矩阵\(A=(a_{ij})\)的主对角线上元素的和称为A的迹，记作 tr(A)。即

命题1：矩阵的迹具有下列性质：

由此可见，矩阵的迹是从矩阵乘法的非交换性中提取的可交换的量。

性质5：相似的矩阵有相等的迹。

性质2、4、5表明：矩阵的行列式、秩、迹都是相似关系下的不变量，简称为相似不变量。

3、如果n级矩阵A能够相似于一个对角矩阵，那么称A可对角化。

定理1：数域K上n级矩阵可对角化的充分必要条件是，\(K^n\)中有n个线性无关的列向量\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\)，以及K中有n个数\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)（它们之中有些可能相等），使得

这时，令\(P=（\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n）\)，则

1、定义1：设A是数域K上n级矩阵，如果\(K^n\)中有非零列向量\(\alpha\)，使得

那么称\(\lambda_0\)是A的一个特征值，称向量\(\alpha\)是A的属于特征值\(\lambda_0\)的一个特征向量。

如果\(\alpha\)是A的属于特征值\(\lambda_0\)的一个特征向量，那么显然，当\(k\not=0时，k\alpha\)也是A的属于特征值\(\lambda_0\)的一个特征向量。

注意：零向量不是A的特征向量。

把\(|\lambda I-A|\)称为A的特征多项式。

2、定理1：设A是数域K上n级矩阵，则

设\(\lambda_0\)是A的一个特征值，把齐次线性方程组\((\lambda_0I-A)X=\bold 0\)的解空间称为A的属于\(\lambda_0\)的特征子空间，其中全部非零向量就是A的属于\(\lambda_0\)的全部特征向量。

相似矩阵性质：

性质1：相似的矩阵具有相等的特征多项式。

性质2：相似的矩阵有相同的特征值（包括重复特征值数量，简称重数相同）。

由性质1、2看出，矩阵的特征多项式和特征值都是相似不变量。

命题1：设A是数域K上n级矩阵，则A的特征多项式\(|\lambda I-A|\)是一个n次多项式，\(\lambda^n\)的系数是1，\(\lambda^{n-1}\)的系数是等于-tr(A)，常数项为\((-1)^n|A|，\lambda^{n-k}\)的系数为A的所有k阶主子式的和乘以\((-1)^k,1\leqslant k