上一期我们讨论了直线的三种方程，即：

点向式方程（对称式方程）、参数方程和一般方程。

和平面几乎同样的，我们这一期讲有关直线的夹角——主要分为直线与平面的夹角、直线与直线的夹角。

先给出定义吧：

两直线方向向量的夹角叫做两直线的夹角。

我们知道，在空间中，两直线的位置关系有：异面、相交和平行。从两直线的夹角的定义来看，两直线的夹角的有无，与这两直线是否相交没有任何必然联系，也就是说空间中两直线如果垂直也不一定相交，因为垂直是定义为夹角为π/2。为什么两直线不相交也会有夹角呢？

我们回到两直线夹角的定义：两直线方向向量的夹角叫做两直线的夹角。

夹角建立在直线的方向向量上，也就是说，直线的平移不影响夹角的大小，而这个现象的本质是，我们讨论的向量一般是自由向量（简单地说就是起点在哪里，不影响向量本身，因为判定两个自由向量相等只需要满足——模相等、方向相同）。

在之前我们讲平面夹角（上一期的上一期）时，我们已经讲了已知两个向量，如何求夹角，以及它的公式。为了大家方便（不用再往前翻上上一期了~），我把它摘取了过来：

{

θ=arccos[(a·b)/(|a||b|)]

 关于这里的arccos，它是cos的反函数，简单地说，就是： 如果y=cos x，那么就有x=arccos y。（一般取反余弦函数的主值，因为反余弦函数是一个多值函数，比如说对于x=arccos y，我们取y=1，x就有多种（这里有无数种）取值，即2kπ（k为自然数），反三角函数都是多值函数（也是广义的函数），因为原函数都具有周期性）

}（文章之后用到的反正弦和这个是差不多的）

注意，这里两直线夹角通常取直角或锐角，之后的各种角都是如此。

两直线夹角最重要的应用就是判定两直线的垂直与平行，

方向向量垂直（点积为0）是两条直线垂直的充要条件。

方向向量平行（三坐标对应成比例）是两条直线平行的充要条件。

翻译过来就是对于直线：

L1:(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c  ,  L2:(x-x1)/m=(y-y1)/n=(z-z1)/p 

am+bn+cp=0 ⇔ L1⊥L2

a/m=b/n=c/p ⇔ L1 ∥ L2

定义简单明了，我就直接给出啦~

直线与平面的法线的夹角的余角称为直线与该平面的夹角。

如何计算呢？

直线与平面的法线的夹角的余弦值可以求得，那么与之互余的角（即直线与平面的夹角）正弦值就等于此余弦值，再利用反正弦函数（arcsin x），得到公式如下：

θ=arcsin [ ( n · s ) / ( |n | · | s | ) ] 

那么，就可推得：

L:(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c , Π:(x-x1)m+(y-y1)n+(z-z1)p=0

am+bn+cp=0 ⇔ L ∥ Π

a/m=b/n=c/p ⇔ L ⊥ Π

例题在下一期讲完平面束给出~